Utilize a propriedade dos expoentes para reescrever e simplificar a expressão.
8^{\frac{4}{3}}\

Passo 1

O enunciado dá a expressão 8^{\frac{4}{3}} e pede para reescrevê-la e simplificá-la usando propriedades de expoentes. Informações relevantes:
  • A base é 8.
  • O expoente é \tfrac{4}{3}.
  • Objetivo: reescrever de forma equivalente e calcular o valor simplificado.

Passo 2

Lembrete da propriedade de potências que vamos usar: para quaisquer a>0, m e n reais com n\neq0,
a^{\frac{m}{n}}=\bigl(a^{\frac{1}{n}}\bigr)^{m}=\bigl(a^{m}\bigr)^{\frac{1}{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • a é a base da potência (aqui a=8).
  • m e n são inteiros/racionais que formam o expoente fracionário \tfrac{m}{n}.
  • A igualdade \bigl(a^{\frac{1}{n}}\bigr)^{m}=a^{\frac{m}{n}} significa: primeiro tirar a raiz n-ésima de a e depois elevar ao m-ésimo; é equivalente a primeiro elevar a a m e depois tirar a raiz n-ésima.

Passo 3

Observação prática: 8 é uma potência inteira de 2. Escrever 8 em fatores primos ajuda:
8=2^{3}.
Isso é útil porque expoentes compostos se combinam de forma simples pela regra (a^{b})^{c}=a^{bc}.

Passo 4

Substituir 8 por 2^{3} em 8^{\frac{4}{3}} e usar (a^{b})^{c}=a^{bc}:
8^{\frac{4}{3}}=(2^{3})^{\frac{4}{3}}.
Aplicando a regra de multiplicação de expoentes:
(2^{3})^{\frac{4}{3}}=2^{3\cdot\frac{4}{3}}.

Passo 5

Calcule o produto dos expoentes:
3\cdot\frac{4}{3}=\frac{3\cdot4}{3}=4.
Logo
2^{3\cdot\frac{4}{3}}=2^{4}.

Passo 6

Calcular 2^{4} explicitamente (contando multiplicações):
2^{4}=2\cdot2\cdot2\cdot2=16.

Passo 7

Observação alternativa (mesma resposta, outro caminho): usar diretamente a definição de expoente fracionário como raiz seguida de potência:
8^{\frac{4}{3}}=\bigl(8^{\frac{1}{3}}\bigr)^{4}.
Como 8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2, então \bigl(8^{\frac{1}{3}}\bigr)^{4}=2^{4}=16. Confere com o resultado anterior.

Resposta

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