Determine um arco trigonométrico, medido em graus entre 0^{\circ} e 360^{\circ}, que coincida com cada um destes arcos.
-10^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá um arco igual a -10^\circ e pede que eu determine um arco trigonométrico, medido em graus entre 0^\circ e 360^\circ, que coincida com esse arco.
Informações relevantes:
  • Arco dado: -10^\circ.
  • Intervalo desejado: [0^\circ,360^\circ) (ou seja, ângulos maiores ou iguais a 0^\circ e menores que 360^\circ).
    O que se pede: encontrar um ângulo dentro desse intervalo que tenha a mesma posição final (mesma semi-reta) que -10^\circ.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): dois arcos “coincidem” quando têm a mesma semi-reta terminal no círculo trigonométrico. Isso acontece exatamente quando os dois ângulos diferem por um múltiplo inteiro de 360^\circ. Em fórmula:
\alpha'=\alpha+k\cdot360^\circ,\qquad k\in\mathbb{Z},
onde:
  • \alpha é o ângulo dado (aqui \alpha=-10^\circ);
  • k é um número inteiro (positivo, negativo ou zero);
  • \alpha' é um ângulo coterminal (que coincide) com \alpha.
    Explicando as variáveis: adicionar 360^\circ equivale a dar uma volta completa no sentido anti-horário; subtrair 360^\circ é dar uma volta completa no sentido horário. Para obter um representante no intervalo [0^\circ,360^\circ) normalmente escolhe-se k para que \alpha' fique nesse intervalo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso \alpha=-10^\circ. Vou procurar um k\in\mathbb{Z} tal que
\alpha'=-10^\circ+k\cdot360^\circ
caia no intervalo [0^\circ,360^\circ).
  • Se eu escolher k=1, obtenho
\alpha'=-10^\circ+1\cdot360^\circ=-10^\circ+360^\circ.
Agora faço a conta simples: 360^\circ-10^\circ=350^\circ. Logo \alpha'=350^\circ.

Passo 4

Verificação e interpretação geométrica (para você entender na prova): a diferença entre \alpha' e \alpha é
350^\circ-(-10^\circ)=360^\circ,
ou seja, são exatamente uma volta inteira de diferença, portanto têm a mesma semi-reta terminal — coincidem. Geometricamente, -10^\circ é rodar 10^\circ no sentido horário a partir do eixo positivo x; 350^\circ é rodar 350^\circ no sentido anti-horário, que deixa a mesma direção final. Além disso, 350^\circ está no intervalo pedido [0^\circ,360^\circ).

Passo 5

Dica prática rápida para a prova: se o ângulo for negativo, some 360^\circ até ficar positivo; se for maior ou igual a 360^\circ, subtraia 360^\circ até cair no intervalo. Outra forma curta é usar resto (módulo): o representante em [0^\circ,360^\circ) é o valor de \alpha módulo 360^\circ. Para -10^\circ, isso dá 350^\circ.

Resposta

350^\circ

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