Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
.
Esse tipo de ODE pode ser tratada como uma equação exata: escrevemos na forma
Esse tipo de ODE pode ser tratada como uma equação exata: escrevemos na forma
e verificamos se
.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial:
Logo identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
e
.
Integrando em relação a
:
Integrando
Agora exigimos
, ou seja
Integramos em
:
.
Portanto a solução implícita geral é
Portanto a solução implícita geral é
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Logo a constante vale
.