Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
\left(\frac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2 x y\right) \frac{d y}{d x}=y(y+\sin x), y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\Bigl(\tfrac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\Bigr)\frac{dy}{dx}=y\,(y+\sin x),
com condição inicial y(0)=1.
Esse tipo de ODE pode ser tratada como uma equação exata: escrevemos na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
e verificamos se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial:
\Bigl(\tfrac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy\Bigr)\,dy - y\,(y+\sin x)\,dx=0.
Logo identificamos
M(x,y)=-y\,(y+\sin x)=-y^{2}-y\sin x, \quad N(x,y)=\tfrac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =-2y-\sin x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =-\sin x-2y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que \partial F/\partial x=M e \partial F/\partial y=N.
Integrando M em relação a x:
F(x,y)=\int(-y^{2}-y\sin x)\,dx =-x\,y^{2}+y\cos x +h(y).
Agora exigimos \partial F/\partial y=N, ou seja
-2xy+\cos x +h'(y) =\tfrac{1}{1+y^{2}}+\cos x-2xy \;\Longrightarrow\; h'(y)=\tfrac{1}{1+y^{2}}.
Integramos em y: h(y)=\arctan(y).
Portanto a solução implícita geral é
F(x,y)=-x\,y^{2}+y\cos x+\arctan(y)=C.

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=1:
-0\cdot1^{2}+1\cdot\cos0+\arctan(1) =1+\tfrac{\pi}{4}=C.
Logo a constante vale C=1+\tfrac{\pi}{4}.

Resposta

-\,x\,y^{2}+y\cos x+\arctan(y)=1+\tfrac{\pi}{4}.

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