Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) d x+\left(y e^{y}+\frac{x}{2 y^{2}+y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a diferencial \bigl(\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dx+\bigl(y e^{y}+\tfrac{x}{2y^{2}+y}\bigr)\,dy=0.
Para verificar se é exata, identificamos
M(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}, \quad N(x,y)=y e^{y}+\frac{x}{2y^{2}+y}
e comparamos \partial M/\partial y com \partial N/\partial x.

Passo 2

Calculamos \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}. A derivada de 1/x em relação a y é zero, e
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo
\frac{\partial M}{\partial y} =-\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Agora \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}. O termo y e^{y} independe de x, e
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{2y^{2}+y}\Bigr) =\frac{1}{2y^{2}+y}.
Portanto
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{1}{2y^{2}+y}.

Passo 4

Comparemos
\frac{\partial M}{\partial y} =-\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{1}{2y^{2}+y}.
Como não são iguais, a equação diferencial não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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