Encontre o valor de k para que a equação diferencial seja exata.
\left(2 x y^{2}+y e^{x}\right) d x+\left(2 x^{2} y+k e^{x}-1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o valor de k de modo que a equação diferencial
\bigl(2xy^{2}+y e^{x}\bigr)\,dx \;+\;\bigl(2x^{2}y+k e^{x}-1\bigr)\,dy=0
seja exata.
Conteúdo: exatidão de equações diferenciais de primeira ordem. Critério: denotando
M(x,y)=2xy^{2}+y e^{x}, \quad N(x,y)=2x^{2}y+k e^{x}-1,
a equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2xy^{2}+y e^{x}, \quad N(x,y)=2x^{2}y+k e^{x}-1.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x}\bigr) = 4xy + e^{x}.

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(k e^{x}\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}(1) = 4xy + k\,e^{x} + 0.

Passo 5

Para exatidão, impomos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \quad\Longrightarrow\quad 4xy + e^{x} = 4xy + k\,e^{x}
o que implica
e^{x}=k\,e^{x}.
Como isso deve valer para todo x, concluímos que k=1.

Resposta

k=1

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