Resolva os problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser escrita na forma
onde vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial, temos
Logo
Calculamos
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
Agora diferenciamos em relação a
e igualamos a
:
Cancelando
de ambos os lados fica
Assim
e a solução implícita é
.
Passo 4
Escrevendo
impondo
dá
Portanto a solução implícita fica
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Definindo
, isso é
Como
, escolhemos o sinal
. Logo
e
Resposta
no ramo em que
.