Resolva os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}\left(\frac{3 y^{2}-x^{2}}{y^{5}}\right) \frac{d y}{d x}+\frac{x}{2 y^{4}}=0 \\\ y(1)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\Bigl(\frac{3y^{2}-x^{2}}{y^{5}}\Bigr)\frac{dy}{dx}+\frac{x}{2y^{4}}=0,\quad y(1)=1.
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser escrita na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
onde vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que d\varphi=0.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial, temos
\frac{x}{2y^{4}}\,dx+\frac{3y^{2}-x^{2}}{y^{5}}\,dy=0.
Logo
M(x,y)=\frac{x}{2y^{4}},\qquad N(x,y)=\frac{3y^{2}-x^{2}}{y^{5}}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{2y^{4}}\Bigr) =-\frac{2x}{y^{5}}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{3y^{2}-x^{2}}{y^{5}}\Bigr) =-\frac{2x}{y^{5}}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=N.
Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) =\int \frac{x}{2y^{4}}\,dx =\frac{x^{2}}{4y^{4}}+g(y).
Agora diferenciamos em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =-\frac{x^{2}}{y^{5}}+g'(y) \stackrel!=\frac{3y^{2}-x^{2}}{y^{5}}.
Cancelando -x^{2}/y^{5} de ambos os lados fica
g'(y)=\frac{3}{y^{3}} \quad\Longrightarrow\quad g(y)=-\frac{3}{2y^{2}}+C.
Assim
\varphi(x,y) =\frac{x^{2}}{4y^{4}}-\frac{3}{2y^{2}}+C
e a solução implícita é \varphi(x,y)=\text{constante}.

Passo 4

Escrevendo
\frac{x^{2}}{4y^{4}}-\frac{3}{2y^{2}}=K,
impondo y(1)=1
\frac{1}{4}-\frac{3}{2}=K \quad\Longrightarrow\quad K=-\frac{5}{4}.
Portanto a solução implícita fica
\frac{x^{2}}{4y^{4}}-\frac{3}{2y^{2}}=-\frac{5}{4}.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 4y^{4} obtemos
x^{2}-6y^{2}+5y^{4}=0.
Definindo z=y^{2}, isso é
5z^{2}-6z+x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{6\pm\sqrt{36-20x^{2}}}{10} =\frac{3\pm\sqrt{9-5x^{2}}}{5}.
Como y(1)=1>0, escolhemos o sinal +. Logo
y^{2}(x)=\frac{3+\sqrt{9-5x^{2}}}{5},
e
y(x)=\sqrt{\frac{3+\sqrt{9-5x^{2}}}{5}}.

Resposta

y(x)=\sqrt{\frac{3+\sqrt{9-5x^{2}}}{5}},
no ramo em que y(1)=1.

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