Resolva os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}\left(e^{x}+y\right) d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0 \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
\bigl(e^{x}+y\bigr)\,dx+\bigl(2+x+y\,e^{y}\bigr)\,dy=0, \quad y(0)=1.
O conteúdo é equação exata: queremos verificar se existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)=e^{x}+y, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)=2+x+y\,e^{y},
pois aí teremos dF=0 e F(x,y)=C.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}+y)=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2+x+y\,e^{y})=1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M em relação a x para obter uma expressão de F:
F(x,y) =\int\bigl(e^{x}+y\bigr)\,dx =e^{x}+x\,y+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), igualamos a derivada de F em relação a y com N(x,y):
\frac{\partial F}{\partial y} =x+h'(y) \stackrel{!}{=}2+x+y\,e^{y} \;\Longrightarrow\; h'(y)=2+y\,e^{y}.
Integrando em y:
h(y)=\int\bigl(2+y\,e^{y}\bigr)\,dy =2y+\bigl(y\,e^{y}-e^{y}\bigr) =2y+y\,e^{y}-e^{y}.
Logo a função potencial completa é
F(x,y) =e^{x}+x\,y+2y+y\,e^{y}-e^{y}.

Passo 5

A condição y(0)=1 implica
F(0,1) =e^{0}+0\cdot1+2\cdot1+1\cdot e^{1}-e^{1} =1+0+2+e-e =3,
ou seja F(x,y)=3.

Resposta

e^{x}+x\,y+2y+y\,e^{y}-e^{y}=3.

Exercícios relacionados