Resolva os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}+5 y=20 \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}+5y=20,\quad y(0)=2.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usaremos o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int 5\,dx}=e^{5x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
e^{5x}\frac{dy}{dx}+5e^{5x}y =20e^{5x}
ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{5x}\bigr)=20e^{5x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{5x}=\int 20e^{5x}\,dx =4e^{5x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, obtemos
y=4 + C\,e^{-5x}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
2 = 4 + C\,e^{0}\quad\Longrightarrow\quad C=-2.
Portanto a solução particular é
y(x)=4 -2e^{-5x}.

Resposta

y(x)=4 -2e^{-5x}.

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