Encontre o valor exato de cada expressão abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Passo 1
O enunciado pede o valor exato de várias expressões envolvendo funções trigonométricas inversas e composições, então vamos usar tabelas de valores do círculo unitário, intervalos principais de cada inversa e identidades trigonométricas (por exemplo, fórmula do arco‐secante via arco‐cosseno, identidade do co‐tangente e fórmula de ângulo duplo).
Passo 2
Primeiro, calculamos as inversas mais comuns usando os intervalos: ,
, . Assim: e ;
e
; e .
Passo 3
Para o arcsecante temos
no intervalo
excluindo
. Logo
.
Passo 4
Para calcular , seja
, então
implica
e
. Logo:
[\tan(\theta)=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\sqrt{15}/4}{1/4}=\sqrt{15}.]
[\tan(\theta)=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\sqrt{15}/4}{1/4}=\sqrt{15}.]
Passo 5
Para
, o intervalo principal é
. Cotangente negativa fica no segundo quadrante e como
, temos
.
Passo 6
A identidade vale para todo
real no domínio, então .
Passo 7
Para , primeiro reduzimos
, então
. Como dá um valor em
e
corresponde a
nesse intervalo, o resultado é
.
Passo 8
Para , seja , logo
e
. Usa‐se a fórmula de ângulo duplo:
[\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}.]
[\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}.]
Resposta
(a)
; (b)
; ©
; (d)
; (e)
; (f)
; (g)
; (h)
; (i)
; (j)
; (k)
; (l)
.