Encontre o valor exato de cada expressão abaixo:
(a) arcsen(raiz32)
(b) arccos (-1)
© arctg(1raiz3)
(d) arcsec(2)
(e) arctg(1)
(f) arcsen(1raiz2)
(g) arccotg(-raiz3)
(h) arccos (-12)
(i) tg(arctg(10))
(j) arcsen(sen(7 pi3))
(k) tg(arcsec(4))
(l) sen(2 arcsen(35)).

Passo 1

O enunciado pede o valor exato de várias expressões envolvendo funções trigonométricas inversas e composições, então vamos usar tabelas de valores do círculo unitário, intervalos principais de cada inversa e identidades trigonométricas (por exemplo, fórmula do arco‐secante via arco‐cosseno, identidade do co‐tangente e fórmula de ângulo duplo).

Passo 2

Primeiro, calculamos as inversas mais comuns usando os intervalos: , arcsenin[-tfracpi2,tfracpi2], . Assim: e ; arccosin[0,pi] e arctgin(-tfracpi2,tfracpi2); e .

Passo 3

Para o arcsecante temos arcsec(x)=arccos(1/x) no intervalo [0,pi] excluindo tfracpi2. Logo arcsec(2)=arccos(tfrac12)=pi/3.

Passo 4

Para calcular , seja tg(arcsec(4)), então theta=arcsec(4) implica sectheta=4 e costheta=1/4. Logo:
[\tan(\theta)=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\sqrt{15}/4}{1/4}=\sqrt{15}.]

Passo 5

Para arccotg(-raiz3), o intervalo principal é (0,pi). Cotangente negativa fica no segundo quadrante e como cot(pi/6)=raiz3, temos arccotg(-raiz3)=pi-tfracpi6=5pi/6.

Passo 6

A identidade vale para todo tg(arctg(x))=x real no domínio, então .

Passo 7

Para , primeiro reduzimos arcsen(sin(7pi/3)), então 7pi/3-2pi=pi/3. Como dá um valor em sin(7pi/3)=sin(pi/3)=tfracraiz32 e arcsen corresponde a [-tfracpi2,tfracpi2] nesse intervalo, o resultado é tfracraiz32.

Passo 8

Para , seja , logo sinl(2arcsen(tfrac35)r) e alpha=arcsen(tfrac35). Usa‐se a fórmula de ângulo duplo:
[\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}.]

Resposta

(a) tfracpi3; (b) pi; © tfracpi6; (d) tfracpi3; (e) tfracpi4; (f) tfracpi4; (g) tfrac5pi6; (h) tfrac2pi3; (i) 10; (j) tfracpi3; (k) raiz15; (l) tfrac2425.

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