Encontre o valor exato de cada expressão.
\ln (1 / e)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado: foi dada a expressão \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right) e a tarefa é encontrar o valor exato dessa expressão. Não há outros dados; só precisamos manipular essa expressão usando propriedades do logaritmo natural.

Passo 2

Reescrever a fração 1/e como potência de e. Lembre que o recíproco de uma base pode ser escrito com expoente negativo, isto é,
\frac{1}{e} = e^{-1}.
Isto é só a propriedade de potências: a^{-1} = 1/a para a\neq 0.

Passo 3

Lembrar a propriedade do logaritmo que vamos usar. Para qualquer número positivo a e qualquer real r vale
\ln\!\left(a^{r}\right)=r\ln(a).
Aqui a variável a é a base do logaritmo (deve ser a>0) e r é o expoente. Essa propriedade vem do fato de que o logaritmo transforma potências em produtos.

Passo 4

Aplicar a propriedade ao nosso caso. Como reescrevemos \dfrac{1}{e}=e^{-1}, temos
\ln\!\left(\frac{1}{e}\right)=\ln\!\left(e^{-1}\right) = -1\cdot\ln(e).
Agora usar que a função \ln é o logaritmo natural, isto é, o logaritmo na base e. Pelo significado do logaritmo como inversa da exponenciação, \ln(e)=1 porque e^{1}=e. Assim a expressão fica
\ln\!\left(\frac{1}{e}\right) = -1\cdot\ln(e) = -1\cdot 1.

Resposta

-1

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