Sejam
e
. Exiba, se possível:
injetora.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
.
O que é pedido: exibir, se possível, uma funçãoque seja injetora (isto é, uma função que não envie dois elementos diferentes de para o mesmo elemento de ).
Passo 2
Definição de injetividade (explicação didática):
- Uma função
é injetora se, para quaisquer ,
- Outra forma equivalente, mais intuitiva: elementos distintos de
têm imagens distintas em . Em palavras: não há “colisão” de imagens.
Aqui as variáveis significam:
-
é o domínio (os elementos que escolhemos para mandar para ), -
é o contradomínio (os possíveis valores de saída), -
associa a cada elemento de um elemento de .
Passo 3
Observação sobre cardinalidade (ideia prática para construir a função):
-
e . - Para conjuntos finitos, uma injeção
existe sempre que . Intuição: basta escolher três elementos distintos de para servir como imagens de .
Portanto, existe sim uma função injetora deem .
Passo 4
Construção explícita (escolha simples e prática):
Vou escolher três elementos distintos de , por exemplo
, e definir
mandando cada elemento de
para um desses:
Vou escolher três elementos distintos de
Passo 5
Verificação de injetividade (passo a passo, sem pular etapas):
- Preciso mostrar que
implica para . - As imagens possíveis segundo a definição são apenas
. - Se
então necessariamente (pois só defini ). - Se
então . - Se
então .
Logo, não existemem tais que . Portanto é injetora.
Passo 6
Observações finais e dicas para a prova:
- Qualquer escolha de três imagens distintas em
daria certo; por exemplo, também é válida. - Estratégia prática na prova: sempre verifique
para saber se é possível; depois construa escolhendo imagens distintas. - Você fez o essencial — escolheu imagens distintas e verificou a propriedade. Mandou bem, respira!