Sejam A=\{a, b, c\} e B=\{x, y, z, w\}. Exiba, se possível:
f: A \rightarrow B injetora.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A=\{a,b,c\}.
  • B=\{x,y,z,w\}.
    O que é pedido: exibir, se possível, uma função f: A \to B que seja injetora (isto é, uma função que não envie dois elementos diferentes de A para o mesmo elemento de B).

Passo 2

Definição de injetividade (explicação didática):
  • Uma função f: A \to B é injetora se, para quaisquer u,v\in A,
f(u)=f(v)\implies u=v.
  • Outra forma equivalente, mais intuitiva: elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Em palavras: não há “colisão” de imagens.
Aqui as variáveis significam:
  • A é o domínio (os elementos que escolhemos para mandar para B),
  • B é o contradomínio (os possíveis valores de saída),
  • f associa a cada elemento de A um elemento de B.

Passo 3

Observação sobre cardinalidade (ideia prática para construir a função):
  • |A|=3 e |B|=4.
  • Para conjuntos finitos, uma injeção f:A\to B existe sempre que |A|\le |B|. Intuição: basta escolher três elementos distintos de B para servir como imagens de a,b,c.
    Portanto, existe sim uma função injetora de A em B.

Passo 4

Construção explícita (escolha simples e prática):
Vou escolher três elementos distintos de B, por exemplo x,y,z, e definir f mandando cada elemento de A para um desses:
f(a)=x,\qquad f(b)=y,\qquad f\text{(c)}=z.

Passo 5

Verificação de injetividade (passo a passo, sem pular etapas):
  • Preciso mostrar que f(u)=f(v) implica u=v para u,v\in\{a,b,c\}.
  • As imagens possíveis segundo a definição são apenas x,y,z.
  • Se f(u)=x então necessariamente u=a (pois só defini f(a)=x).
  • Se f(u)=y então u=b.
  • Se f(u)=z então u=c.
    Logo, não existem u\neq v em A tais que f(u)=f(v). Portanto f é injetora.

Passo 6

Observações finais e dicas para a prova:
  • Qualquer escolha de três imagens distintas em B daria certo; por exemplo, f(a)=w,\\ f(b)=x,\\ f\text{(c)}=y também é válida.
  • Estratégia prática na prova: sempre verifique |A|\le|B| para saber se é possível; depois construa escolhendo imagens distintas.
  • Você fez o essencial — escolheu imagens distintas e verificou a propriedade. Mandou bem, respira!

Resposta

f(a)=x
f(b)=y
f\text{(c)}=z

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