Encontre o valor exato de cada expressão
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular exatamente o valor de
.
Informações dadas: os três termos são logaritmos na mesma base :
,
e
.
Objetivo claro: simplificar essa soma de logaritmos até uma forma exata (sem aproximações numéricas).
Informações dadas: os três termos são logaritmos na mesma base
Objetivo claro: simplificar essa soma de logaritmos até uma forma exata (sem aproximações numéricas).
Passo 2
Propriedade básica de logaritmos que vamos usar agora. A regra diz que, para qualquer base
,
, e números positivos
,
Explicando: o logaritmo transforma multiplicação em soma. Aqui
significa "o expoente que faz
elevado a esse valor dar
". Somando
com
é o mesmo que pedir o expoente que faz
elevado ao produto
. É uma ferramenta essencial para somas de logaritmos.
Passo 3
Aplicando a propriedade do passo anterior às três parcelas (todas com mesma base
):
Agora vou multiplicar os números dentro do logaritmo passo a passo para ficar claro.
Passo 4
Multiplicando em etapas:
Portanto a expressão vira
Passo 5
Podemos obter uma forma ainda mais explícita fatorando
em fatores primos. Isso ajuda a separar a parte inteira (potências de
) de termos que permanecem como logaritmos de primos.
Fatoração:
Fatoração:
Juntando:
Passo 6
Usando as propriedades de logaritmo novamente: produto vira soma e potência sai na frente:
E pela regra do expoente:
Portanto
Também podemos agrupar
, dando uma forma alternativa