Encontre o valor exato de cada expressão
\log _{2} 6+\log _{2} 15+\log _{2} 20

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular exatamente o valor de \log_{2}6+\log_{2}15+\log_{2}20.
Informações dadas: os três termos são logaritmos na mesma base 2: \log_{2}6, \log_{2}15 e \log_{2}20.
Objetivo claro: simplificar essa soma de logaritmos até uma forma exata (sem aproximações numéricas).

Passo 2

Propriedade básica de logaritmos que vamos usar agora. A regra diz que, para qualquer base a>0, a\neq1, e números positivos x,y,
\log_{a}x+\log_{a}y=\log_{a}(xy).
Explicando: o logaritmo transforma multiplicação em soma. Aqui \log_{a}x significa "o expoente que faz a elevado a esse valor dar x". Somando \log_{a}x com \log_{a}y é o mesmo que pedir o expoente que faz a elevado ao produto xy. É uma ferramenta essencial para somas de logaritmos.

Passo 3

Aplicando a propriedade do passo anterior às três parcelas (todas com mesma base 2):
\log_{2}6+\log_{2}15+\log_{2}20=\log_{2}(6\cdot15\cdot20).
Agora vou multiplicar os números dentro do logaritmo passo a passo para ficar claro.

Passo 4

Multiplicando em etapas:
6\cdot15=90,
90\cdot20=1800.
Portanto a expressão vira
\log_{2}(6\cdot15\cdot20)=\log_{2}1800.

Passo 5

Podemos obter uma forma ainda mais explícita fatorando 1800 em fatores primos. Isso ajuda a separar a parte inteira (potências de 2) de termos que permanecem como logaritmos de primos.
Fatoração:
1800=18\cdot100,
18=2\cdot9=2\cdot3^{2},
100=4\cdot25=2^{2}\cdot5^{2}.
Juntando:
1800=2\cdot3^{2}\cdot2^{2}\cdot5^{2}=2^{3}\cdot3^{2}\cdot5^{2}.

Passo 6

Usando as propriedades de logaritmo novamente: produto vira soma e potência sai na frente:
\log_{2}(2^{3}\cdot3^{2}\cdot5^{2})=\log_{2}2^{3}+\log_{2}3^{2}+\log_{2}5^{2}.
E pela regra do expoente:
\log_{2}2^{3}=3,\quad \log_{2}3^{2}=2\log_{2}3,\quad \log_{2}5^{2}=2\log_{2}5.
Portanto
\log_{2}1800=3+2\log_{2}3+2\log_{2}5.
Também podemos agrupar 2\log_{2}3+2\log_{2}5=2\log_{2}(3\cdot5)=2\log_{2}15, dando uma forma alternativa
\log_{2}1800=3+2\log_{2}15.

Resposta

\log_{2}1800
3+2\log_{2}3+2\log_{2}5

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