Encontre a carga estacionária e a corrente estacionária em um circuito em série LRC quando
. OBS: A carga estacionária é o termo da carga que não tende a zero quando
Passo 1
O enunciado fornece um circuito série LRC com os seguintes dados:
,
,
e fonte
. Pede-se a carga estacionária (isto é, a parte da carga que não tende a zero quando
) e a corrente estacionária. O enunciado já indica as expressões particulares
Aqui listei o que é dado e o que o problema pede; a resolução detalhada começa no próximo passo.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial que governa a carga
num circuito série LRC. A lei de Kirchhoff dá
Expliquei cada símbolo:
é a carga no capacitor (em coulombs),
é a corrente (em ampères),
é a indutância (henry),
a resistência (ohm),
a capacitância (farad) e
a fonte (volts). Substituindo os valores numéricos
,
,
e
, obtemos a EDO
Passo 3
Vou explicar o que é “estacionário” aqui: a solução geral da EDO é soma da solução homogênea
(transiente) e de uma solução particular
(forçamento). Ou seja,
Se o transiente
tende a zero quando
, então o termo que fica no infinito é exatamente
. Por isso a “carga estacionária” é
e a “corrente estacionária” é
, desde que
.
Passo 4
Estudo rapidamente o comportamento do homogêneo para garantir que decai: a equação homogênea é
A equação característica é
. As raízes são
ou seja,
é combinação linear de
e
. Como aparece o fator
, temos
quando
. Portanto a parte estacionária é mesmo a solução particular forçada.
Passo 5
Vou determinar
pelo método dos coeficientes indeterminados. A força é
, então escolhemos a forma de tentativa
porque derivando produzimos cossenos e senos — isso é padrão: se RHS é combinação de senos e cossenos de frequência
, tentamos combinação de
e
. Agora calculo as derivadas:
Passo 6
Substituo
na EDO
. Fazendo a substituição e coletando termos em
e
,
Agora agrupo coeficientes de
e
:
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
Igualando ao lado direito obtemos o sistema linear
coeficiente de
coeficiente de
Igualando ao lado direito
Passo 7
Resolvo o sistema. Da segunda equação vem
, ou seja
Substituo na primeira:
Assim
E então
Passo 8
Com
e
achados, a solução particular (que é a parte estacionária da carga) é
Este resultado coincide com a expressão fornecida no enunciado (apenas escrevi na ordem
depois
). A corrente estacionária é a derivada de
:
ou reorganizando termos,
que também coincide com a expressão fornecida.