Faça um esboço do gráfico de cada função. Não use a calculadora gráfica.
y=10^{1+x}

Passo 1

O enunciado dá a função y=10^{1+x} e pede um esboço do gráfico.
Informações dadas que vou usar: a fórmula da função \,y=10^{1+x}\, (ou seja, um exponencial com base 10). O que preciso desenhar: domínio, imagem (intervalo de valores de y), assíntotas, alguns pontos que ajudem a traçar a curva e a forma geral (crescimento/decrescimento e concavidade).

Passo 2

Domínio e imagem (faça mentalmente ou escreva antes de desenhar).
Definição rápida: domínio são todos os x que podemos colocar na fórmula; imagem (ou alcance) é o conjunto de valores possíveis de y.
  • Para \,y=10^{1+x}\,, qualquer x\in\mathbb{R} é válido (não há raiz quadrada de número negativo nem divisão por zero aqui), então o domínio é \mathbb{R}.
  • Uma potência de base positiva ( 10) nunca é zero e sempre é positiva, então y>0 para todo x. Portanto a imagem é (0,\infty).

Passo 3

Assíntota horizontal.
Como \,x\to -\infty, o expoente 1+x\to -\infty e 10^{1+x}\to 0^+. Então a reta \,y=0\, é assíntota horizontal pela esquerda. Escrevendo:
\lim_{x\to -\infty} 10^{1+x}=0.

Passo 4

Reescrever a função para entender a transformação.
Usamos a propriedade das potências: 10^{1+x}=10^{1}\cdot 10^{x}. Então
y=10^{1+x}=10\cdot 10^{x}.
Isto significa que o gráfico de y=10^{1+x} é exatamente o gráfico de y=10^{x} multiplicado verticalmente por 10 (uma “esticada” vertical por fator 10). Observação importante: adicionar 1 no expoente não é um deslocamento horizontal simples quando comparado com multiplicações; aqui corresponde a multiplicar a função base por 10.

Passo 5

Pontos-chave para ajudar o esboço (calculei valores simples substituindo x). Vou mostrar como calculei cada um passo a passo.
  • Para x=0: y=10^{1+0}=10^{1}=10. Então temos o ponto (0,10).
  • Para x=-1: y=10^{1-1}=10^{0}=1. Então temos o ponto (-1,1).
  • Para x=-2: y=10^{1-2}=10^{-1}=0,1. Então temos o ponto (-2,0,1). Note que escrevemos decimal com vírgula: 0,1 (igual a 10^{-1}).
  • Para x=1: y=10^{1+1}=10^{2}=100. Então temos o ponto (1,100).
    Esses pontos são suficientes para ver o comportamento: pequeno à esquerda, muito grande à direita.

Passo 6

Interceptos e existência de raiz.
  • Intercepto com o eixo y (quando x=0) é (0,10) já calculado.
  • Não existe intercepto com o eixo x porque não há solução para 10^{1+x}=0 (potência de base positiva nunca é zero).

Passo 7

Crescimento e concavidade (interpretação com derivadas, explicada de forma simples).
  • A derivada de y=10^{1+x} pode ser escrita usando a regra: derivada de a^{u} (com a>0) é (\ln a)\,a^{u}\,u'. Aqui u=1+x e u'=1, logo
y'=\ln(10)\cdot 10^{1+x}.
Como \ln(10)>0 e 10^{1+x}>0 para todo x, temos y'>0 sempre — a função é estritamente crescente em todo o domínio.
  • A segunda derivada é
y''=(\ln 10)^2\cdot 10^{1+x},
também positiva para todo x, portanto a curva é côncava para cima (convexa): vai “curvar para cima” enquanto cresce.

Passo 8

Comportamento nas extremidades (limites).
  • Pela direita: \displaystyle\lim_{x\to\infty}10^{1+x}=\infty. A função cresce sem limite para +\infty.
  • Pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to-\infty}10^{1+x}=0^+. A curva se aproxima de y=0 sem tocar.

Passo 9

Como montar o esboço sem calculadora (passo a passo prático para desenhar no papel):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e trace uma linha pontilhada horizontal em y=0 (assíntota).
  2. Marque no eixo x os pontos x=-2,-1,0,1. Ao lado, marque no eixo y os valores 0,1,10,100 (na prática coloque marcas desproporcionais: 100 bem acima, 10 mais abaixo, 1 perto do eixo, 0,1 muito próximo de zero).
  3. Plote os pontos (-2,0,1), (-1,1), (0,10), (1,100) usando as marcas. Lembre que (0,10) fica acima do eixo x, (-1,1) está bem perto do eixo, etc.
  4. Ligue os pontos com uma curva suave que: se aproxima de y=0 quando vai para a esquerda, passa por (-1,1) e (0,10), e sobe muito rapidamente para a direita. Mantenha a curvatura para cima (convexa). Não faça linhas retas; o crescimento acelera conforme x aumenta.
  5. Rotule a curva com y=10^{1+x}.

Passo 10

Resumo rápido das propriedades que você deve mostrar no esboço: domínio \mathbb{R}; imagem (0,\infty); assíntota horizontal y=0; crescente e côncava para cima; pontos de referência (-2,0,1), (-1,1), (0,10), (1,100); sem intercepto com eixo x.

Resposta

Esboço: curva exponencial crescente com base 10, assíntota horizontal y=0, passando por (-2,0,1), (-1,1), (0,10), (1,100), domínio \mathbb{R}, imagem (0,\infty).

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