Faça um esboço do gráfico de cada função. Não use a calculadora gráfica.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede um esboço do gráfico.
Informações dadas que vou usar: a fórmula da função (ou seja, um exponencial com base
). O que preciso desenhar: domínio, imagem (intervalo de valores de
), assíntotas, alguns pontos que ajudem a traçar a curva e a forma geral (crescimento/decrescimento e concavidade).
Informações dadas que vou usar: a fórmula da função
Passo 2
Domínio e imagem (faça mentalmente ou escreva antes de desenhar).
Definição rápida: domínio são todos os que podemos colocar na fórmula; imagem (ou alcance) é o conjunto de valores possíveis de
.
Definição rápida: domínio são todos os
- Para
, qualquer é válido (não há raiz quadrada de número negativo nem divisão por zero aqui), então o domínio é . - Uma potência de base positiva (
) nunca é zero e sempre é positiva, então para todo . Portanto a imagem é .
Passo 3
Assíntota horizontal.
Como , o expoente
e
. Então a reta
é assíntota horizontal pela esquerda. Escrevendo:
Como
Passo 4
Reescrever a função para entender a transformação.
Usamos a propriedade das potências: . Então
Usamos a propriedade das potências:
Isto significa que o gráfico de
é exatamente o gráfico de
multiplicado verticalmente por
(uma “esticada” vertical por fator
). Observação importante: adicionar
no expoente não é um deslocamento horizontal simples quando comparado com multiplicações; aqui corresponde a multiplicar a função base por
.
Passo 5
Pontos-chave para ajudar o esboço (calculei valores simples substituindo
). Vou mostrar como calculei cada um passo a passo.
- Para
: . Então temos o ponto . - Para
: . Então temos o ponto . - Para
: . Então temos o ponto . Note que escrevemos decimal com vírgula: (igual a ). - Para
: . Então temos o ponto .
Esses pontos são suficientes para ver o comportamento: pequeno à esquerda, muito grande à direita.
Passo 6
Interceptos e existência de raiz.
- Intercepto com o eixo
(quando ) é já calculado. - Não existe intercepto com o eixo
porque não há solução para (potência de base positiva nunca é zero).
Passo 7
Crescimento e concavidade (interpretação com derivadas, explicada de forma simples).
- A derivada de
pode ser escrita usando a regra: derivada de (com ) é . Aqui e , logo
Como
e
para todo
, temos
sempre — a função é estritamente crescente em todo o domínio.
- A segunda derivada é
também positiva para todo
, portanto a curva é côncava para cima (convexa): vai “curvar para cima” enquanto cresce.
Passo 8
Comportamento nas extremidades (limites).
- Pela direita:
. A função cresce sem limite para . - Pela esquerda:
. A curva se aproxima de sem tocar.
Passo 9
Como montar o esboço sem calculadora (passo a passo prático para desenhar no papel):
- Desenhe dois eixos perpendiculares e trace uma linha pontilhada horizontal em
(assíntota). - Marque no eixo
os pontos . Ao lado, marque no eixo os valores (na prática coloque marcas desproporcionais: bem acima, mais abaixo, perto do eixo, muito próximo de zero). - Plote os pontos
, , , usando as marcas. Lembre que fica acima do eixo , está bem perto do eixo, etc. - Ligue os pontos com uma curva suave que: se aproxima de
quando vai para a esquerda, passa por e , e sobe muito rapidamente para a direita. Mantenha a curvatura para cima (convexa). Não faça linhas retas; o crescimento acelera conforme aumenta. - Rotule a curva com
.
Passo 10
Resumo rápido das propriedades que você deve mostrar no esboço: domínio
; imagem
; assíntota horizontal
; crescente e côncava para cima; pontos de referência
,
,
,
; sem intercepto com eixo
.
Resposta
Esboço: curva exponencial crescente com base
, assíntota horizontal
, passando por
,
,
,
, domínio
, imagem
.