Faça um esboço do gráfico de cada função. Não use a calculadora gráfica.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça um esboço do gráfico da função
Informações dadas (explicitamente na fórmula): o expoente é
e a base é
. A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico sem usar calculadora gráfica.
Passo 2
Entendendo o tipo de função (no bom e velho passo-a-passo): funções da forma
têm estas propriedades básicas que vou usar aqui (explico cada uma rapidinho):
Se
a função cresce; se
a função decresce. Essas propriedades valem para qualquer
. Não pule isso — é o que determina a forma do gráfico.
Passo 3
Aplicando o item anterior à nossa base
(que é
, ou seja
):
- A função é decrescente porque
. - A assíntota horizontal é
. - Domínio e imagem seguem: domínio
e imagem .
Passo 4
Entendendo a transformação
: escrever a função como transformação do gráfico básico. Defino
. Então
ou seja: o gráfico de
é o gráfico de
deslocado 2 unidades para a direita. Em palavras simples: pego
e movo tudo 2 unidades para a direita.
Passo 5
Calcule pontos-chave (vou mostrar como calcular tudo, passo a passo, pra você poder reproduzir na prova sem calculadora):
- Calcule em
: Então o ponto pertence ao gráfico. - Calcule em
: Então o ponto é o intercepto com o eixo . (Aqui usei a regra .) - Calcule em
: Ponto . - Calcule em
: Ponto . - Calcule em
: Ponto . - Para comportamento extremo: quando
, ; quando , . Isso confirma que à esquerda cresce muito e à direita aproxima-se de zero.
Passo 6
Verificações úteis para desenhar com segurança (fórmulas e raciocínios que você pode escrever na prova):
- Não existe intercepto com o eixo
porque a função nunca é zero: para todo . - Derivada (pra saber monotonicidade formalmente):
Como
e
, temos
para todo
— ou seja, decrescente em toda a reta real.
- Segunda derivada (pra saber curvatura):
logo a curva é côncava para cima (concavidade para cima).
Passo 7
Como esboçar na prática (passos que você faz com lápis e papel):
- Desenhe os eixos
e e trace uma linha pontilhada horizontal em para indicar a assíntota. - Marque e escreva os pontos já calculados:
, , , , . - Lembre que a curva é decrescente, passa por esses pontos, fica cada vez mais perto de
à direita sem tocar e cresce sem limites à esquerda. - Una os pontos com uma curva suave, decrescente e côncava para cima (parecida com um “R” invertido esticado), certificando-se de que para
os valores ficam próximos de zero e para já estamos em valores maiores (por exemplo se quiser um ponto à esquerda). - Rotule o ponto especial
— ponto onde o expoente é zero — e o intercepto com , .
Passo 8
Dicas para a prova (o que escrever rapidamente para justificar o esboço):
- Diga: domínio
, imagem , assíntota . - Explique: função base decrescente porque
. - Justifique a translação: o termo
desloca o gráfico 2 unidades para a direita (portanto é o ponto com ). - Mostre 2–4 pontos calculados para garantir precisão do esboço.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntota horizontal:
Pontos importantes:
Comportamento: decrescente (para tende a
; para
tende a
)
Imagem:
Assíntota horizontal:
Pontos importantes:
Comportamento: decrescente (para