Faça um esboço do gráfico de cada função. Não use a calculadora gráfica.
y=0.5^{x-2}

Passo 1

O enunciado pede que eu faça um esboço do gráfico da função
y = 0{,}5^{\,x-2}
Informações dadas (explicitamente na fórmula): o expoente é x-2 e a base é 0{,}5. A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico sem usar calculadora gráfica.

Passo 2

Entendendo o tipo de função (no bom e velho passo-a-passo): funções da forma \,y=a^{x}\, têm estas propriedades básicas que vou usar aqui (explico cada uma rapidinho):
\text{domínio: }(-\infty,\infty)í
\text{imagem (range): }(0,\infty)
\text{assíntota horizontal: }y=0í
Se a>1 a função cresce; se 0<a<1 a função decresce. Essas propriedades valem para qualquer a>0. Não pule isso — é o que determina a forma do gráfico.

Passo 3

Aplicando o item anterior à nossa base 0{,}5 (que é 1/2, ou seja 0{,}5\in(0,1)):
  • A função é decrescente porque 0{,}5<1.
  • A assíntota horizontal é y=0.
  • Domínio e imagem seguem: domínio (-\infty,\infty) e imagem (0,\infty).

Passo 4

Entendendo a transformação x-2: escrever a função como transformação do gráfico básico. Defino g(x)=(0{,}5)^{x}. Então
y=(0{,}5)^{x-2}=g(x-2),
ou seja: o gráfico de g(x-2) é o gráfico de g(x) deslocado 2 unidades para a direita. Em palavras simples: pego y=(0{,}5)^x e movo tudo 2 unidades para a direita.

Passo 5

Calcule pontos-chave (vou mostrar como calcular tudo, passo a passo, pra você poder reproduzir na prova sem calculadora):
  • Calcule em x=2: y(2)=(0{,}5)^{2-2}=(0{,}5)^{0}=1. Então o ponto (2,1) pertence ao gráfico.
  • Calcule em x=0: y(0)=(0{,}5)^{0-2}=(0{,}5)^{-2}=\left(\frac12\right)^{-2}=2^{2}=4. Então o ponto (0,4) é o intercepto com o eixo y. (Aqui usei a regra (a^{-n})=(1/a)^{n}.)
  • Calcule em x=1: y(1)=(0{,}5)^{-1}=2. Ponto (1,2).
  • Calcule em x=3: y(3)=(0{,}5)^{1}=0{,}5. Ponto (3,0{,}5).
  • Calcule em x=4: y(4)=(0{,}5)^{2}=0{,}25. Ponto (4,0{,}25).
  • Para comportamento extremo: quando x\to\infty, (0{,}5)^{x-2}\to0; quando x\to-\infty, (0{,}5)^{x-2}\to\infty. Isso confirma que à esquerda cresce muito e à direita aproxima-se de zero.

Passo 6

Verificações úteis para desenhar com segurança (fórmulas e raciocínios que você pode escrever na prova):
  • Não existe intercepto com o eixo x porque a função nunca é zero: (0{,}5)^{x-2}>0 para todo x.
  • Derivada (pra saber monotonicidade formalmente): y'=\ln(0{,}5)\,(0{,}5)^{x-2}.
Como \ln(0{,}5)<0 e (0{,}5)^{x-2}>0, temos y'<0 para todo x — ou seja, decrescente em toda a reta real.
  • Segunda derivada (pra saber curvatura): y''=(\ln(0{,}5))^{2}\,(0{,}5)^{x-2}>0,
logo a curva é côncava para cima (concavidade para cima).

Passo 7

Como esboçar na prática (passos que você faz com lápis e papel):
  1. Desenhe os eixos x e y e trace uma linha pontilhada horizontal em y=0 para indicar a assíntota.
  2. Marque e escreva os pontos já calculados: (0,4), (1,2), (2,1), (3,0{,}5), (4,0{,}25).
  3. Lembre que a curva é decrescente, passa por esses pontos, fica cada vez mais perto de y=0 à direita sem tocar e cresce sem limites à esquerda.
  4. Una os pontos com uma curva suave, decrescente e côncava para cima (parecida com um “R” invertido esticado), certificando-se de que para x>4 os valores ficam próximos de zero e para x<0 já estamos em valores maiores (por exemplo y(-2)=16 se quiser um ponto à esquerda).
  5. Rotule o ponto especial (2,1) — ponto onde o expoente é zero — e o intercepto com y, (0,4).

Passo 8

Dicas para a prova (o que escrever rapidamente para justificar o esboço):
  • Diga: domínio (-\infty,\infty), imagem (0,\infty), assíntota y=0.
  • Explique: função base decrescente porque 0{,}5\in(0,1).
  • Justifique a translação: o termo (x-2) desloca o gráfico 2 unidades para a direita (portanto (2,1) é o ponto com y=1).
  • Mostre 2–4 pontos calculados para garantir precisão do esboço.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: (0,\infty)
Assíntota horizontal: y=0
Pontos importantes: (0,4),\\ (1,2),\\ (2,1),\\ (3,0{,}5),\\ (4,0{,}25)
Comportamento: decrescente (para x\to\infty tende a 0; para x\to-\infty tende a +\infty)

Exercícios relacionados