Encontre o valor exato de cada uma das expressões, se não existir o valor diga por que o mesmo não está definido:
\operatorname{sen}^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor exato da expressão \operatorname{sen}^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • O argumento da função inversa é \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Deve-se determinar se existe um valor (ou valores) para \operatorname{sen}^{-1} desse número; caso exista, dar o valor exato.

Passo 2

O que significa \operatorname{sen}^{-1} aqui (definição e domínio/contradomínio):
  • A notação \operatorname{sen}^{-1}y representa a função arco-seno (ou inversa restrita do seno). É o valor (ângulo) \theta tal que \sin\theta=y, mas com uma escolha única de \theta.
  • Por convenção, a função \operatorname{sen}^{-1} tem domínio [-1,1] (valores possíveis do seno) e imagem (ou contra-domínio principal) igual ao intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]. Ou seja, \operatorname{sen}^{-1}y retorna o único ângulo \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] tal que \sin\theta=y.
  • Aqui o argumento é \dfrac{\sqrt{2}}{2}, que pertence a [-1,1], portanto a arco-seno está definida para esse valor.

Passo 3

Encontrar um ângulo cujo seno é \dfrac{\sqrt{2}}{2}: ideia geométrica simples.
  • Considere um triângulo retângulo isósceles com ângulos 45^\circ e catetos iguais (razão cateto/hipotenusa = 1/\sqrt{2}). Isso dá \sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Em radianos, 45^\circ corresponde a \dfrac{\pi}{4}. Logo \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Observação sobre soluções gerais e escolha do valor principal:
  • A equação \sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} tem infinitas soluções no conjunto dos reais; as soluções gerais são
\theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\quad\text{ou}\quad \theta = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Entretanto, \operatorname{sen}^{-1} retorna o único ângulo que pertence ao intervalo principal \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]. Dentre as soluções gerais listadas, a que pertence a esse intervalo é \theta=\dfrac{\pi}{4} (porque \dfrac{3\pi}{4} está fora do intervalo principal).

Passo 5

Conclusão e verificação rápida:
  • Portanto o valor que a função arco-seno atribui é \dfrac{\pi}{4}.
  • Verificação: \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, consistente com o enunciado.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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