Encontre o valor exato de cada uma das expressões, se não existir o valor diga por que o mesmo não está definido:
Passo 1
O enunciado pede o valor exato da expressão
.
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
- O argumento da função inversa é
. - Deve-se determinar se existe um valor (ou valores) para
desse número; caso exista, dar o valor exato.
Passo 2
O que significa
aqui (definição e domínio/contradomínio):
- A notação
representa a função arco-seno (ou inversa restrita do seno). É o valor (ângulo) tal que , mas com uma escolha única de . - Por convenção, a função
tem domínio (valores possíveis do seno) e imagem (ou contra-domínio principal) igual ao intervalo . Ou seja, retorna o único ângulo tal que . - Aqui o argumento é
, que pertence a , portanto a arco-seno está definida para esse valor.
Passo 3
Encontrar um ângulo cujo seno é
: ideia geométrica simples.
- Considere um triângulo retângulo isósceles com ângulos
e catetos iguais (razão cateto/hipotenusa = ). Isso dá . - Em radianos,
corresponde a . Logo .
Passo 4
Observação sobre soluções gerais e escolha do valor principal:
- A equação
tem infinitas soluções no conjunto dos reais; as soluções gerais são
- Entretanto,
retorna o único ângulo que pertence ao intervalo principal . Dentre as soluções gerais listadas, a que pertence a esse intervalo é (porque está fora do intervalo principal).
Passo 5
Conclusão e verificação rápida:
- Portanto o valor que a função arco-seno atribui é
. - Verificação:
, consistente com o enunciado.