Sabendo que sen x=\frac{5}{7} e que x \in 2^{\circ} quadrante determine as demais funções trigonométricas para x.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • \sin x=\dfrac{5}{7}.
  • x pertence ao segundo quadrante.
O que o problema pede:
  • Determinar as demais funções trigonométricas de x: \cos x, \tan x, \cot x, \operatorname{sec} x e \csc x.

Passo 2

Lembrete sobre sinais nos quadrantes (isso é essencial para escolher o sinal correto das raízes):
  • No segundo quadrante: seno positivo, cosseno negativo, tangente negativa.
    Em símbolos: \sin x>0,\\ \cos x<0,\\ \tan x<0 quando x está no segundo quadrante.

Passo 3

Usar a identidade pitagórica para relacionar seno e cosseno:
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Substituindo \sin x=\dfrac{5}{7}:
\left(\dfrac{5}{7}\right)^{2}+\cos^{2}x=1.
Calcule \left(\dfrac{5}{7}\right)^{2}:
\left(\dfrac{5}{7}\right)^{2}=\dfrac{25}{49}.
Então
\cos^{2}x=1-\dfrac{25}{49}=\dfrac{49}{49}-\dfrac{25}{49}=\dfrac{24}{49}.

Passo 4

Agora \cos x=\pm\sqrt{\dfrac{24}{49}}=\pm\dfrac{\sqrt{24}}{7}.
Simplificar \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}, então
\cos x=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{7}.
Como estamos no segundo quadrante, \cos x<0. Portanto
\cos x=-\dfrac{2\sqrt{6}}{7}.

Passo 5

Calcular a tangente usando a identidade quociente:
\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
Substituindo os valores:
\tan x=\dfrac{\dfrac{5}{7}}{-\dfrac{2\sqrt{6}}{7}}=\dfrac{5}{-2\sqrt{6}}=-\dfrac{5}{2\sqrt{6}}.
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{6}):
\tan x=-\dfrac{5\sqrt{6}}{2\cdot6}=-\dfrac{5\sqrt{6}}{12}.
(Confirme o sinal: negativo, consistente com o segundo quadrante.)

Passo 6

Calcular a cotangente como recíproco da tangente:
\cot x=\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{-\dfrac{5\sqrt{6}}{12}}=-\dfrac{12}{5\sqrt{6}}.
Racionalizando:
\cot x=-\dfrac{12\sqrt{6}}{5\cdot6}=-\dfrac{2\sqrt{6}}{5}.

Passo 7

Calcular a secante como recíproco do cosseno:
\operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{-\dfrac{2\sqrt{6}}{7}}=-\dfrac{7}{2\sqrt{6}}.
Racionalizando:
\operatorname{sec} x=-\dfrac{7\sqrt{6}}{2\cdot6}=-\dfrac{7\sqrt{6}}{12}.

Passo 8

Calcular a cossecante como recíproco do seno:
\csc x=\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{1}{\dfrac{5}{7}}=\dfrac{7}{5}.

Resposta

\cos x=-\dfrac{2\sqrt{6}}{7}
\tan x=-\dfrac{5\sqrt{6}}{12}
\cot x=-\dfrac{2\sqrt{6}}{5}
\operatorname{sec} x=-\dfrac{7\sqrt{6}}{12}
\csc x=\dfrac{7}{5}

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