Encontre o valor exato de:
i) \cos \left(\frac{7 \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de \cos\!\left(\frac{7\pi}{4}\right). Informação dada: o ângulo é \frac{7\pi}{4} radianos. Não há outras condições ou dados adicionais.

Passo 2

Vamos identificar em graus para visualizar melhor a posição do ângulo no círculo. Convertendo radianos para graus:
\frac{7\pi}{4}\\ \text{rad} = \frac{7\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=7\cdot45^\circ=315^\circ.
Logo, \frac{7\pi}{4}=315^\circ.

Passo 3

Determine em que quadrante o ângulo está. No círculo unitário:
  • 0^\circ a 90^\circ é 1° quadrante,
  • 90^\circ a 180^\circ é 2° quadrante,
  • 180^\circ a 270^\circ é 3° quadrante,
  • 270^\circ a 360^\circ é 4° quadrante.
Como 315^\circ está entre 270^\circ e 360^\circ, o ângulo está no 4° quadrante.

Passo 4

Calcule o ângulo de referência (reference angle). O ângulo de referência é a menor distância angular até o eixo x positivo. Para um ângulo no 4° quadrante:
\text{ângulo de referência} = 360^\circ - 315^\circ = 45^\circ.âê
Em radianos isso é \frac{\pi}{4}. Portanto o valor do cosseno de \frac{7\pi}{4} em módulo será o mesmo de \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 5

Calcule o valor exato de \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right). Uma maneira simples e clássica: considere um triângulo retângulo isósceles 45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ com catetos de comprimento 1 e 1. Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa vale
\text{hipotenusa}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
Então
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Racionalizando o denominador obtemos
\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Determine o sinal do cosseno no 4° quadrante. No 4° quadrante o seno é negativo e o cosseno é positivo (porque estamos à direita do eixo y, isto é, abscissa positiva). Assim:
\cos\!\left(\frac{7\pi}{4}\right)
tem o mesmo valor numérico de \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) e é positivo. Portanto
\cos\!\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

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