Encontre o valor exato de:
o) \operatorname{sen}\left(\frac{-\pi}{3}\right)

Passo 1

O que o problema pede: encontrar o valor exato de \operatorname{sen}\left(\frac{-\pi}{3}\right).
Informações dadas: o ângulo é \frac{-\pi}{3} (ou seja, negativo) e precisamos do valor exato (fração envolvendo raízes, não aproximação decimal).

Passo 2

Entendendo o seno na circunferência trigonométrica. Num círculo unitário (raio 1) o ponto correspondente ao ângulo \theta tem coordenadas (\cos\theta,\;\sin\theta). Um ângulo negativo significa girar sentido horário a partir do eixo positivo x. Pela simetria em relação ao eixo x, a coordenada y (que é o seno) muda de sinal quando eu troco \theta por -\theta. Ou seja, vale a propriedade
\sin(-\theta) = -\sin(\theta).
Isso decorre da reflexão do ponto (\cos\theta,\sin\theta) para (\cos\theta,-\sin\theta) ao refletir sobre o eixo x.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: com \theta=\frac{\pi}{3},
\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
Então basta calcular \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).

Passo 4

Cálculo de \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) (ou seja, \sin 60^\circ). Um modo clássico de obter esse valor é usar um triângulo equilátero de lado 2: ao traçar a altura, obtemos dois triângulos retângulos com hipotenusa 2, cateto adjacente 1 e cateto oposto igual à altura \sqrt{3}. No triângulo reto correspondente ao ângulo de 60^\circ (ou \frac{\pi}{3}),
\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Voltando à etapa anterior:
\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
Pronto — esse é o valor exato.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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