Encontre o valor exato de:
d) \operatorname{sen}\left(\frac{11 \pi}{4}\right)

Passo 1

O problema pede o valor exato de \operatorname{sen}\!\left(\frac{11\pi}{4}\right).
Dados relevantes: o ângulo dado é \frac{11\pi}{4} (em radianos). Precisamos simplificar esse ângulo e calcular o seno exatamente (sem aproximações decimais).

Passo 2

Vamos usar a propriedade de periodicidade do seno. A função seno é periódica de período 2\pi, isto é:
\operatorname{sen}(x+2\pi k)=\operatorname{sen}(x)\quad\text{para todo inteiro }k.
Isso significa que, se adicionarmos ou subtrairmos múltiplos de 2\pi de um ângulo, o valor do seno não muda. Aqui isso nos permite reduzir \frac{11\pi}{4} a um ângulo equivalente entre 0 e 2\pi.

Passo 3

Reduzimos o ângulo retirando 2\pi. Escrevemos
\frac{11\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4},
pois 2\pi = \frac{8\pi}{4} e \frac{11\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}. Pela periodicidade do seno:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{11\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right).

Passo 4

Agora avaliamos \operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right). Observe que
\frac{3\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}.
Há uma identidade geométrica (ou de simetria no círculo unitário) que diz
\operatorname{sen}\!\left(\pi-\theta\right)=\operatorname{sen}(\theta).
Isso ocorre porque os pontos no círculo unitário em ângulos \theta e \pi-\theta têm a mesma coordenada y. Aplicando com \theta=\frac{\pi}{4} temos
\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 5

Calculemos \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right). O ângulo \frac{\pi}{4} corresponde a 45^\circ. Num triângulo retângulo isósceles (ângulos 45^\circ,45^\circ,90^\circ) com catetos iguais a 1, a hipotenusa vale \sqrt{2} (teorema de Pitágoras). Portanto
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Juntando as etapas: \operatorname{sen}\!\left(\frac{11\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}. Boa: chegamos ao valor exato!

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Exercícios relacionados