Encontre o valor exato de:
d)
d)
Passo 1
O problema pede o valor exato de
.
Dados relevantes: o ângulo dado é (em radianos). Precisamos simplificar esse ângulo e calcular o seno exatamente (sem aproximações decimais).
Dados relevantes: o ângulo dado é
Passo 2
Vamos usar a propriedade de periodicidade do seno. A função seno é periódica de período
, isto é:
Isso significa que, se adicionarmos ou subtrairmos múltiplos de
de um ângulo, o valor do seno não muda. Aqui isso nos permite reduzir
a um ângulo equivalente entre
e
.
Passo 3
Reduzimos o ângulo retirando
. Escrevemos
pois
e
. Pela periodicidade do seno:
Passo 4
Agora avaliamos
. Observe que
Há uma identidade geométrica (ou de simetria no círculo unitário) que diz
Isso ocorre porque os pontos no círculo unitário em ângulos
e
têm a mesma coordenada
. Aplicando com
temos
Passo 5
Calculemos
. O ângulo
corresponde a
. Num triângulo retângulo isósceles (ângulos
) com catetos iguais a
, a hipotenusa vale
(teorema de Pitágoras). Portanto
Passo 6
Juntando as etapas:
. Boa: chegamos ao valor exato!