Mostre, usando as propriedades de corpo ordenado, as seguintes afirmações:
a) o inverso multiplicativo é único;
b) 1 cdot x=barx, onde barx é o oposto de x;
c) w <= 0 e x <= y implica x w >= y w.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisa ser feito aqui. A gente vai trabalhar com corpos ordenados, que são estruturas matemáticas onde a gente tem operações de adição e multiplicação bem definidas e uma ordem que respeita essas operações. Precisamos mostrar três coisas usando as propriedades desses corpos ordenados:
a) Que o inverso multiplicativo é único;
b) Que 1 cdot x = x, onde x é o oposto de x;
c) Que se w <= 0 e x <= y, então x cdot w >= y cdot w.
Vamos resolver cada uma passo a passo!

Passo 2

a) O inverso multiplicativo é único
Primeiro, vamos lembrar que o inverso multiplicativo de um número a em um corpo é um número a^-1 tal que a cdot a^-1 = 1. Precisamos mostrar que esse inverso é único, ou seja, não pode ter dois inversos diferentes para o mesmo número.

Passo 3

Vamos supor que existam dois inversos multiplicativos para o mesmo número a, digamos b e c, onde a cdot b = 1 e a cdot c = 1. Queremos provar que b = c.

Passo 4

Usando a propriedade associativa da multiplicação:
b = b cdot 1 (porque todo número vezes 1 é e<= mesmo) úé
Mas sabemos que 1 = a cdot c, então podemos substituir:
b = b cdot (a cdot c) = (b cdot a) cdot c
Como b cdot a = 1, então:
b = 1 cdot c = c
Portanto, b = c, mostrando que o inverso multiplicativo é único.

Passo 5

b) 1 cdot x = x
Aqui, 1 representa o oposto de 1, ou seja, -1. E x é o oposto de x, ou seja, -x. Queremos mostrar que multiplicar -1 por x resulta em -x.

Passo 6

Sabemos que, por definição, o oposto de um número x é aquele que, quando somado a x, dá zero:
x + x = 0
Agora, vamos multiplicar ambos os lados dessa equação por 1:
1 cdot (x + x) = 1 cdot 0
Isso simplifica para:
1 cdot x + 1 cdot x = 0
Sabendo que 1 cdot x = x, temos:
x + x = 0
Já está claro, mas para relacionar com -1 cdot x, observe que multiplicar x por -1 deve resultar em um número que, quando somado a x, dá zero:
x + (-1 cdot x) = 0
Portanto:
-1 cdot x = x
Ou seja:
1 cdot x = x

Passo 7

c) Se w <= 0 e x <= y, então x cdot w >= y cdot w
Aqui, temos duas desigualdades envolvendo w, x e y. Queremos mostrar que multiplicar ambos os lados da segunda desigualdade por w (que é negativo ou zero) inverte a direção da desigualdade.

Passo 8

Primeiro, como w <= 0, sabemos que multiplicar por w vai inverter a ordem da desigualdade. Ou seja, se w é negativo, multiplicar por ele muda o sentido da desigualdade.
Dado que x <= y e w <= 0, multiplicamos ambos os lados de x <= y por w:
x cdot w >= y cdot w
Isso ocorre porque, ao multiplicar por um número negativo, a desigualdade se inverte.

Resposta

a) O inverso multiplicativo é único;
b) 1 cdot x = x;
c) Se w <= 0 e x <= y, então x cdot w >= y cdot w.

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