Encontre o valor exato da integral definida abaixo:
integral-1^3(3 x^2+5 x-1) d x

Passo 1

A gente tem que calcular a integral definida de um polinômio de segundo grau entre -1 e 3. O conteúdo aqui é integração de polinômios, e vamos usar a regra de potências (∫x^n dx = x^{n+1}/(n+1)) para achar a antiderivada.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de 3x² + 5x − 1, aplicamos a regra de potência em cada termo. Assim,
F(x)=integral(3x^2+5x-1)dx = x^3 + 52x^2 - x + C

Passo 3

Agora avaliamos F(x) nos limites x=3 e x=-1. Primeiro em x=3:
F(3) = 3^3 + 52cdot3^2 - 3 = 27 + 52cdot9 - 3 = 27 + 452 - 3 = 24 + 452 = 932

Passo 4

Depois em x=-1:
F(-1) = (-1)^3 + 52cdot(-1)^2 - (-1) = -1 + 52 + 1 = 52

Passo 5

Finalmente, subtraímos F(-1) de F(3) para obter a integral definida:
integral-1^3(3x^2+5x-1)dx = F(3) - F(-1) = 932 - 52 = 882 = 44

Resposta

44

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