Encontre o valor exato da integral definida abaixo:
integral1^2 x^3+2 x^2+x div 2(x+1)^2 d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida de 1 a 2 da função racional dfracx^3+2x^2+tfracx2(x+1)^2. O conteúdo envolve integral de função racional, e vamos precisar simplificar o integrando por divisão de polinômios e depois usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para simplificar o integrando, escrevemos primeiro o numerador com denominador comum:
x^3+2x^2+tfracx2=2x^3+4x^2+x2
Em seguida, dividimos o polinômio 2x^3+4x^2+x por (x+1)^2=x^2+2x+1: o quociente é 2x e o resto é -x, ou seja
2x^3+4x^2+x(x+1)^2=2x-x(x+1)^2
Logo o integrando fica
x^3+2x^2+tfracx2(x+1)^2=12l(2x-x(x+1)^2r)=x-x2(x+1)^2

Passo 3

Agora montamos a antiderivada termo a termo. Para integral x,dx temos
integral x,dx=x^22
Para integral x2(x+1)^2,dx fazemos a substituição u=x+1, então x=u-1 e dx=du:
integral x2(x+1)^2,dx=12integralu-1u^2,du=12integrall(1u-u^-2r)du=12l(ln|u|+u^-1r)+C
Voltando a x, a antiderivada geral é
F(x)=x^22-12ln(x+1)-12(x+1)+C

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos F(2)-F(1):
F(2)=2-12ln3-16=116-12ln3, F(1)=14-12ln2
Portanto
integral1^2x^3+2x^2+tfracx2(x+1)^2,dx=F(2)-F(1)=116-14+12(ln2-ln3)=1912+12ln23

Resposta

1912+12ln23

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