prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que:
Esse problema está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente com operações envolvendo divergente, rotacional e produto vetorial. Para resolver, vamos usar as propriedades dessas operações e algumas identidades fundamentais do cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada operação significa:
- Divergente (
): Mede a “taxa de expansão” de um campo vetorial. - Rotacional (
): Mede a tendência de rotação de um campo vetorial. - Produto Vetorial (
): Gera um novo vetor perpendicular aos vetores e .
Vamos usar a identidade vetorial que relaciona o divergente do produto vetorial de dois vetores com os rotacionais desses vetores. Essa identidade é exatamente o que precisamos provar.
Passo 3
Vamos escrever o lado esquerdo da igualdade:
Para calcular o divergente do produto vetorial, vamos expandir usando as componentes vetoriais. Suponha que:
O produto vetorial
é dado por:
Passo 4
Agora, vamos calcular o divergente desse vetor:
Expandindo as derivadas:
Passo 5
Vamos reorganizar os termos para agrupar as derivadas de
e
separadamente:
Passo 6
Agora, vamos identificar os termos que correspondem aos rotacionais de
e
:
O rotacional de
é:
E o rotacional de
é:
Passo 7
Substituindo os rotacionais na expressão original:
Isso ocorre porque cada grupo de termos corresponde exatamente ao produto escalar de
com o rotacional de
e de
com o rotacional de
, respeitando os sinais.
Resposta
Assim, provamos que: