prove que nabla cdot(A times B)=B cdot(nabla times A)-A cdot(nabla times B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que:
nabla cdot (A times B) = B cdot (nabla times A) - A cdot (nabla times B)
Esse problema está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente com operações envolvendo divergente, rotacional e produto vetorial. Para resolver, vamos usar as propriedades dessas operações e algumas identidades fundamentais do cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada operação significa:
  • Divergente ( nabla cdot): Mede a “taxa de expansão” de um campo vetorial.
  • Rotacional ( nabla times): Mede a tendência de rotação de um campo vetorial.
  • Produto Vetorial ( A times B): Gera um novo vetor perpendicular aos vetores A e B.
Vamos usar a identidade vetorial que relaciona o divergente do produto vetorial de dois vetores com os rotacionais desses vetores. Essa identidade é exatamente o que precisamos provar.

Passo 3

Vamos escrever o lado esquerdo da igualdade:
nabla cdot (A times B)
Para calcular o divergente do produto vetorial, vamos expandir usando as componentes vetoriais. Suponha que:
A = (Ax, Ay, Az) e B = (Bx, By, Bz)
O produto vetorial A times B é dado por:
A times B = ( Ay Bz - Az By, , Az Bx - Ax Bz, , Ax By - Ay Bx )

Passo 4

Agora, vamos calcular o divergente desse vetor:
nabla cdot (A times B) = partialpartial x(Ay Bz - Az By) + partialpartial y(Az Bx - Ax Bz) + partialpartial z(Ax By - Ay Bx)
Expandindo as derivadas:
= partial Aypartial x Bz + Ay partial Bzpartial x - partial Azpartial x By - Az partial Bypartial x + partial Azpartial y Bx + Az partial Bxpartial y - partial Axpartial y Bz - Ax partial Bzpartial y + partial Axpartial z By + Ax partial Bypartial z - partial Aypartial z Bx - Ay partial Bxpartial z

Passo 5

Vamos reorganizar os termos para agrupar as derivadas de A e B separadamente:
= ( partial Aypartial x Bz - partial Azpartial x By ) + ( partial Azpartial y Bx - partial Axpartial y Bz ) + ( partial Axpartial z By - partial Aypartial z Bx ) + ( Ay partial Bzpartial x - Az partial Bypartial x ) + ( Az partial Bxpartial y - Ax partial Bzpartial y ) + ( Ax partial Bypartial z - Ay partial Bxpartial z )

Passo 6

Agora, vamos identificar os termos que correspondem aos rotacionais de A e B:
O rotacional de A é:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z, , partial Axpartial z - partial Azpartial x, , partial Aypartial x - partial Axpartial y )
E o rotacional de B é:
nabla times B = ( partial Bzpartial y - partial Bypartial z, , partial Bxpartial z - partial Bzpartial x, , partial Bypartial x - partial Bxpartial y )

Passo 7

Substituindo os rotacionais na expressão original:
nabla cdot (A times B) = B cdot (nabla times A) - A cdot (nabla times B)
Isso ocorre porque cada grupo de termos corresponde exatamente ao produto escalar de B com o rotacional de A e de A com o rotacional de B, respeitando os sinais.

Resposta

Assim, provamos que:
nabla cdot (A times B) = B cdot (nabla times A) - A cdot (nabla times B)

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