Encontre o valor exato de:
n) \operatorname{sec} \left(-\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de \operatorname{sec}\left(-\frac{\pi}{3}\right).
Informações dadas: o ângulo é -\frac{\pi}{3} (ou seja, -60^\circ) e a função trigonométrica é a secante.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vou usar): a secante é definida como o recíproco do cosseno, isto é
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
Aqui x é o ângulo em radianos (ou graus) cujo cosseno estamos tomando. Então, para calcular uma secante, primeiro encontramos o cosseno do ângulo e depois fazemos o inverso multiplicativo (recíproco).

Passo 3

Propriedade útil do cosseno: o cosseno é uma função par, o que significa que
\cos(-x)=\cos x
para todo x. Isso se vê no círculo trigonométrico: os pontos para x e -x têm mesma coordenada x. Usando isso na definição da secante, temos
\operatorname{sec}(-x)=\frac{1}{\cos(-x)}=\frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x.
Ou seja, a secante também é uma função par e \operatorname{sec}(-x)=\operatorname{sec} x.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso ângulo:
\operatorname{sec}\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right).

Passo 5

Agora preciso do valor exato de \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right). Um jeito clássico de ver isso é usar o triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ (ou derivar a partir de um triângulo equilátero). Se tomarmos um triângulo equilátero de lado 1 e traçarmos a altura, obtemos dois triângulos retângulos com hipotenusa 1, cateto adjacente ao ângulo de 60^\circ igual a \tfrac{1}{2} e cateto oposto igual a \tfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto,
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.

Passo 6

Como \operatorname{sec} x é o recíproco de \cos x, então
\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.

Resposta

2

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