Encontre o valor exato de:
x) \cot \left(-\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor exato de \cot\left(-\frac{\pi}{3}\right).\n
Informações dadas: o ângulo é -\frac{\pi}{3}.\n
Objetivo: encontrar um número exato (fração envolvendo raízes, se necessário) que seja o valor de \cot desse ângulo.

Passo 2

Definição e ideia principal que vamos usar: a cotangente é a razão entre cosseno e seno. Isso significa que, para qualquer ângulo \theta,
\cot(\theta)=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.
Aqui \cos\theta é a coordenada x do ponto correspondente no círculo trigonométrico e \sin\theta é a coordenada y.

Passo 3

Propriedade de paridade (útil para ângulos negativos): sabemos que \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta. Usando a definição da cotangente,
\cot(-\theta)=\frac{\cos(-\theta)}{\sin(-\theta)}=\frac{\cos\theta}{-\,\sin\theta}=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=-\cot(\theta).
Ou seja, a cotangente é uma função ímpar: \cot(-\theta)=-\cot(\theta).

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso:
\cot\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\cot\left(\frac{\pi}{3}\right).
Então agora precisamos só calcular \cot\left(\frac{\pi}{3}\right).

Passo 5

Valores conhecidos no círculo trigonométrico para \frac{\pi}{3}: \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} e \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}. Esses valores vêm da geometria do triângulo equilátero ou da posição no círculo unitário.

Passo 6

Calculemos \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) usando a definição:
\cot\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador (multiplicando por \tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) obtemos
\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 7

Voltando à primeira relação de paridade, temos
\cot\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\cot\left(\frac{\pi}{3}\right).
Como \cot\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3} (do Passo 6), concluímos o valor final na seção de resposta.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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