Encontre o valor exato de:
x)
x)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor exato de
.\n
Informações dadas: o ângulo é .\n
Objetivo: encontrar um número exato (fração envolvendo raízes, se necessário) que seja o valor de desse ângulo.
Informações dadas: o ângulo é
Objetivo: encontrar um número exato (fração envolvendo raízes, se necessário) que seja o valor de
Passo 2
Definição e ideia principal que vamos usar: a cotangente é a razão entre cosseno e seno. Isso significa que, para qualquer ângulo
,
Aqui
é a coordenada
do ponto correspondente no círculo trigonométrico e
é a coordenada
.
Passo 3
Propriedade de paridade (útil para ângulos negativos): sabemos que
e
. Usando a definição da cotangente,
Ou seja, a cotangente é uma função ímpar:
.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso:
Então agora precisamos só calcular
.
Passo 5
Valores conhecidos no círculo trigonométrico para
:
e
. Esses valores vêm da geometria do triângulo equilátero ou da posição no círculo unitário.
Passo 6
Calculemos
usando a definição:
Racionalizando o denominador (multiplicando por
) obtemos
Passo 7
Voltando à primeira relação de paridade, temos
Como
(do Passo 6), concluímos o valor final na seção de resposta.