Encontre o valor das expressões:
\operatorname{sen}(-\pi)+\cos (7 \pi)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\operatorname{sen}(-\pi)+\cos(7\pi).
Informações dadas:
  • Os ângulos envolvidos são -\pi e 7\pi.
  • Deve-se fornecer o valor numérico da soma.

Passo 2

Vamos tratar a parte com seno primeiro. Há uma propriedade importante do seno que vou usar e explicar:
\operatorname{sen}(-\theta) = -\operatorname{sen}(\theta)
ou seja, a função seno é ímpar: trocar o sinal do ângulo troca o sinal do seno. Aplicando com \theta=\pi temos
\operatorname{sen}(-\pi) = -\operatorname{sen}(\pi).
Agora, qual é \operatorname{sen}(\pi)? No círculo unitário o ângulo \pi (180º) corresponde ao ponto (-1,0), cujo segundo coordenado é zero; esse segundo coordenado é o seno. Portanto
\operatorname{sen}(\pi)=0.
Substituindo:
\operatorname{sen}(-\pi) = -0 = 0.

Passo 3

Agora a parte com cosseno. Uma propriedade útil do cosseno é a periodicidade de período 2\pi:
\cos(\theta+2k\pi)=\cos(\theta)\quad\text{para todo }k\in\mathbb{Z}.
Como 7\pi = \pi + 6\pi e 6\pi=3\cdot 2\pi é múltiplo de 2\pi, temos
\cos(7\pi)=\cos(\pi).
Outra maneira rápida, para inteiros n, é usar
\cos(n\pi)=(-1)^n,
então, como 7 é ímpar, \cos(7\pi)=(-1)^7=-1. Pelo círculo unitário, no ângulo \pi o cosseno é -1, confirmando
\cos(7\pi)=-1.

Passo 4

Juntando os resultados das duas partes:
\operatorname{sen}(-\pi)+\cos(7\pi)=0+(-1)=-1.

Resposta

-1

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