Encontre o valor exato dos números:
\operatorname{cossec}\left(-\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor exato de \operatorname{cossec}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right).
Informações dadas:
  • A função envolvida é a cossecante ( \operatorname{cossec}), aplicada ao ângulo -\dfrac{\pi}{3}.
  • Ângulo em radianos: -\dfrac{\pi}{3} (equivalente a -60^\circ).

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a cossecante é o recíproco do seno. Ou seja,
\operatorname{cossec} x = \frac{1}{\sin x}.
Também usamos a paridade do seno: o seno é função ímpar, isto é,
\sin(-x) = -\sin x.
Isso significa que o sinal do seno muda quando o ângulo muda de sinal.

Passo 3

Aplicando as identidades acima ao problema:
\operatorname{cossec}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)} = \frac{1}{-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)} = -\frac{1}{\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}.

Passo 4

Calcular \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right). Esse é um ângulo notável: \dfrac{\pi}{3} = 60^\circ. Uma forma simples de ver o valor exato é pensar num triângulo equilátero de lado 1 dividido ao meio: a altura vale \dfrac{\sqrt{3}}{2}, e o seno de 60^\circ (oposto/hipotenusa no triângulo retângulo formado) é
\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Substituindo em -\dfrac{1}{\sin(\pi/3)}:
-\frac{1}{\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)} = -\frac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}):
-\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Checagem rápida do sinal: como \sin(-\pi/3) é negativo, a cossecante (recíproco do seno) também é negativa — o resultado faz sentido.

Resposta

-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

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