Encontre o valor das expressões:
Passo 1
O enunciado pede o valor da expressão
Informações dadas:
- Os ângulos envolvidos são
e . - As funções trigonométricas são tangente (
) e cotangente ( ).
Passo 2
Relembrando definições e propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
- A tangente de um ângulo
é definida por , desde que . - A cotangente de um ângulo
é , desde que . - A tangente é uma função ímpar, o que significa que
. - As funções tangente e cotangente têm período
, ou seja, e .
Essas propriedades permitem reduzir ângulos grandes ou negativos para ângulos mais simples (do círculo trigonométrico).
Passo 3
Calcular
.
Usando a imparidade da tangente:
Agora avaliar
. Observe que
. Para a tangente vale a identidade
Logo,
E
. Portanto
Retornando à tangente do ângulo negativo:
Passo 4
Calcular
.
Usar a periodicidade da cotangente (período
) para reduzir o ângulo. Subtraindo
(que é um múltiplo de
) temos
Como
tem período
,
Agora usar a definição
. Para
tem-se
e
, então
Portanto
Passo 5
Juntar os resultados:
Se preferir racionalizar o denominador: