Encontre o valor das expressões:
\operatorname{tg}\left(-\frac{5 \pi}{6}\right)-\operatorname{cotg}\left(\frac{7 \pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão
\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{6}\right)-\operatorname{cotg}\left(\frac{7\pi}{2}\right).
Informações dadas:
  • Os ângulos envolvidos são -\dfrac{5\pi}{6} e \dfrac{7\pi}{2}.
  • As funções trigonométricas são tangente ( \operatorname{tg}) e cotangente ( \operatorname{cotg}).

Passo 2

Relembrando definições e propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A tangente de um ângulo \theta é definida por \displaystyle \operatorname{tg}(\theta)=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}, desde que \cos\theta\neq0.
  • A cotangente de um ângulo \theta é \displaystyle \operatorname{cotg}(\theta)=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, desde que \sin\theta\neq0.
  • A tangente é uma função ímpar, o que significa que \displaystyle \operatorname{tg}(-\theta)=-\operatorname{tg}(\theta).
  • As funções tangente e cotangente têm período \pi, ou seja, \operatorname{tg}(\theta+\pi)=\operatorname{tg}(\theta) e \operatorname{cotg}(\theta+\pi)=\operatorname{cotg}(\theta).
    Essas propriedades permitem reduzir ângulos grandes ou negativos para ângulos mais simples (do círculo trigonométrico).

Passo 3

Calcular \operatorname{tg}\!\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right).
Usando a imparidade da tangente:
\operatorname{tg}\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\!\left(\frac{5\pi}{6}\right).
Agora avaliar \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right). Observe que \dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}. Para a tangente vale a identidade
\operatorname{tg}\!\left(\pi-\alpha\right)=-\operatorname{tg}(\alpha).
Logo,
\operatorname{tg}\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
E \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Portanto
\operatorname{tg}\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Retornando à tangente do ângulo negativo:
\operatorname{tg}\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Calcular \operatorname{cotg}\!\left(\dfrac{7\pi}{2}\right).
Usar a periodicidade da cotangente (período \pi) para reduzir o ângulo. Subtraindo 3\pi (que é um múltiplo de \pi) temos
\frac{7\pi}{2}-3\pi=\frac{7\pi-6\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.
Como \operatorname{cotg} tem período \pi,
\operatorname{cotg}\!\left(\frac{7\pi}{2}\right)=\operatorname{cotg}\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Agora usar a definição \operatorname{cotg}(\theta)=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}. Para \theta=\dfrac{\pi}{2} tem-se \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, então
\operatorname{cotg}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{0}{1}=0.
Portanto
\operatorname{cotg}\!\left(\frac{7\pi}{2}\right)=0.

Passo 5

Juntar os resultados:
\operatorname{tg}\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right)-\operatorname{cotg}\!\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Se preferir racionalizar o denominador:
\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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