Encontre o valor das expressões:
\operatorname{tg}(-6 \pi)+\cos \left(\frac{9 \pi}{4}\right)

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais informações temos: o enunciado quer o valor da expressão
\operatorname{tg}(-6\pi)+\cos\!\left(\frac{9\pi}{4}\right).
Informações dadas (explicitamente na própria expressão):
  • Há uma função tangente avaliada em \,-6\pi.
  • Há uma função cosseno avaliada em \,\dfrac{9\pi}{4}.
    O objetivo é simplificar essa soma e apresentar o valor exato.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Tangente em termos de seno e cosseno: \displaystyle \operatorname{tg}(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}, desde que \cos(x)\neq 0.
    • Aqui uso \operatorname{tg} como \tan.
  • Valores especiais: para qualquer inteiro k vale \sin(k\pi)=0, \qquad \cos(2k\pi)=1, \qquad \cos((2k+1)\pi)=-1.Em particular, \sin de múltiplos inteiros de \pi é zero.
  • Periodicidade:
    • \sin e \cos têm período 2\pi: \sin(x+2\pi)=\sin x, \cos(x+2\pi)=\cos x.
    • \operatorname{tg} tem período \pi: \operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg}(x).
  • Redução de ângulos: para simplificar um ângulo podemos subtrair múltiplos inteiros de 2\pi (para \cos) ou de \pi (para \operatorname{tg}) até ficar num ângulo conhecido no círculo trigonométrico.

Passo 3

Avaliar \operatorname{tg}(-6\pi) passo a passo:
  • Observação: -6\pi é múltiplo inteiro de \pi (especificamente, -6\pi = (-6)\pi). Como a tangente tem período \pi, um ângulo que é um múltiplo inteiro de \pi tem tangente igual à tangente de 0. \operatorname{tg}(-6\pi)=\operatorname{tg}(0).
  • Sabendo \sin(0)=0 e \cos(0)=1, pelo quociente: \operatorname{tg}(0)=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=\frac{0}{1}=0.
Portanto
\operatorname{tg}(-6\pi)=0.

Passo 4

Avaliar \cos\!\left(\dfrac{9\pi}{4}\right) passo a passo:
  • Reduzir o ângulo pela periodicidade de 2\pi. Note que 2\pi=\frac{8\pi}{4}, \qquad\text{então}\qquad \frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{9\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.ãAssim \cos\!\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
  • Valor conhecido no círculo trigonométrico: \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    Portanto
\cos\!\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Somar os resultados já obtidos:
\operatorname{tg}(-6\pi)+\cos\!\left(\frac{9\pi}{4}\right)=0+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071, mas o valor exato é \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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