Encontre o valor das expressões:
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais informações temos: o enunciado quer o valor da expressão
Informações dadas (explicitamente na própria expressão):
- Há uma função tangente avaliada em
. - Há uma função cosseno avaliada em
.
O objetivo é simplificar essa soma e apresentar o valor exato.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):
- Tangente em termos de seno e cosseno:
, desde que . - Aqui uso
como .
- Aqui uso
- Valores especiais: para qualquer inteiro
vale Em particular, de múltiplos inteiros de é zero. - Periodicidade:
-
e têm período : , . -
tem período : .
-
- Redução de ângulos: para simplificar um ângulo podemos subtrair múltiplos inteiros de
(para ) ou de (para ) até ficar num ângulo conhecido no círculo trigonométrico.
Passo 3
Avaliar
passo a passo:
- Observação:
é múltiplo inteiro de (especificamente, ). Como a tangente tem período , um ângulo que é um múltiplo inteiro de tem tangente igual à tangente de . - Sabendo
e , pelo quociente:
Portanto
Passo 4
Avaliar
passo a passo:
- Reduzir o ângulo pela periodicidade de
. Note que Assim - Valor conhecido no círculo trigonométrico:
.
Portanto
Passo 5
Somar os resultados já obtidos:
Se quiser uma aproximação numérica rápida,
, mas o valor exato é
.