Se f(x)=\operatorname{sen} x e f(a)=\frac{1}{3} encontre os valores de:
a) f(-a)
b) f(a)+f(a+2 \pi)+f(a+4 \pi)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{sen} x e a informação f(a)=\dfrac{1}{3}. As perguntas são:
  • (a) Determinar f(-a).
  • (b) Calcular f(a)+f(a+2\pi)+f(a+4\pi).
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x)=\operatorname{sen} x.
  • f(a)=\operatorname{sen} a=\dfrac{1}{3}.

Passo 2

Propriedade 1: paridade (seno é função ímpar).
Explicação didática: dizer que uma função g é ímpar significa que vale g(-x)=-g(x) para todo x. No caso do seno, isso vem da simetria no círculo unitário: o ponto correspondente a -x é a reflexão do ponto de x pelo eixo x, logo a coordenada vertical troca de sinal. Por isso:
\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x\quad\text{para todo }x.
Exemplo concreto para fixar: \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2} e \operatorname{sen}\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Aplicando a propriedade ímpar ao nosso problema para responder (a):
f(-a)=\operatorname{sen}(-a)=-\operatorname{sen} a.
Como foi dado \operatorname{sen} a=\dfrac{1}{3}, segue
f(-a)=-\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Propriedade 2: periodicidade do seno.
Explicação didática: a função seno repete seu valor sempre que o ângulo aumenta ou diminui de 2\pi (uma volta completa no círculo). Em fórmula:
\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen} x\quad\text{para todo }x.
Exemplo concreto: \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{6}+2\pi\right)=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Usando a periodicidade para os termos que aparecem em (b):
f(a+2\pi)=\operatorname{sen}(a+2\pi)=\operatorname{sen} a,
f(a+4\pi)=\operatorname{sen}(a+4\pi)=\operatorname{sen}(a+2\pi)=\operatorname{sen} a.
Portanto os três termos são todos iguais a \operatorname{sen} a.

Passo 6

Calcular explicitamente a soma pedida em (b):
f(a)+f(a+2\pi)+f(a+4\pi)=\operatorname{sen} a+\operatorname{sen} a+\operatorname{sen} a=3\operatorname{sen} a.
Como \operatorname{sen} a=\dfrac{1}{3}, obtemos
3\operatorname{sen} a=3\cdot\dfrac{1}{3}=1.

Resposta

f(-a)=-\dfrac{1}{3}
f(a)+f(a+2\pi)+f(a+4\pi)=1

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