Encontre o valor final da funções abaixo por meio do Teorema do Valor Final.

Passo 1

Estamos com a função de tempo f(t)=e^{−t} sen(t) e queremos encontrar o valor final f(∞) usando o Teorema do Valor Final da transformada de Laplace. Vamos precisar aplicar o conceito de transformada de Laplace e o enunciado do Teorema do Valor Final.

Passo 2

O Teorema do Valor Final diz que, se todos os polos de sF(s) estiverem no semiplano esquerdo (Re(s)<0), então limttoinftyf(t)=limsto0sF(s)

Passo 3

Precisamos calcular F(s)=ℒ{e^{−t}sen(t)}. Lembrando que, em geral, ℒe^−atsen(bt)=b(s+a)^2+b^2Aqui a=1 e b=1, logo F(s)=1(s+1)^2+1

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema do Valor Final:
limttoinftyf(t)=limsto0sF(s)=limsto0scdot1(s+1)^2+1

Passo 5

Substituindo s=0 no numerador e denominador:
limsto0sF(s)=0(0+1)^2+1=02=0

Passo 6

Verificamos que os polos de F(s) estão em s=−1±j, ambos à esquerda do eixo imaginário, então o Teorema do Valor Final é válido.
Portanto, o valor final da função é 0.

Resposta

0

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