Obtenha a Transformada de Laplace Inversa abaixo.

Dica: Use completamento de quadrado no denominador e o Teorema do deslocamento complexo visto em sala.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a transformada de Laplace inversa de 2s e^-2s+3e^-2ss^2-4s+20. O conteúdo principal é usar completamento de quadrado no denominador e o Teorema do deslocamento no tempo (ou deslocamento complexo).

Passo 2

Fatorar o deslocamento exponencial: observe que há um fator e^-2s em todo o numerador. Podemos reescrever
2s e^-2s+3e^-2ss^2-4s+20=e^-2s,2s+3s^2-4s+20

Passo 3

Completar o quadrado no denominador:
s^2-4s+20=(s-2)^2+16

Passo 4

Reescrever o numerador em termos de u=s-2: seja u=s-2, então s=u+2 e
2s+3=2(u+2)+3=2u+7

Passo 5

Logo
2s+3(s-2)^2+16=2uu^2+4^2+7u^2+4^2

Passo 6

Reconhecer as transformadas inversas básicas: temos
uu^2+4^2long<=ftrightarrow e^2tcos(4t)e4u^2+4^2long<=ftrightarrow e^2tsin(4t)

Passo 7

Portanto
2uu^2+16long<=ftrightarrow 2e^2tcos(4t),7u^2+16=744u^2+16long<=ftrightarrow 74e^2tsin(4t)

Passo 8

Somando as duas partes, para a parte sem o e^-2s temos
f0(t)=2e^2tcos(4t)+74e^2tsin(4t)

Passo 9

Aplicar o Teorema do deslocamento no tempo: multiplicar por e^-2s em s corresponde a substituir t por t-2 e multiplicar por u(t-2). Então a resposta final é
f(t)=l(2e^2(t-2)cosl(4(t-2)r)+74e^2(t-2)sinl(4(t-2)r)r)u(t-2)

Resposta

f(t)=l[2e^2(t-2)cos(4(t-2))+tfrac74e^2(t-2)sin(4(t-2))r]u(t-2)

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