Mostre que a equação
tem, no máximo, 2 raízes reais. Dica: Use e MENCIONE o teorema de Rolle (
ve.zestint). Suponha, por contradição que
tem 3 raízes reais, digamos
. Aplique o teorema de Rolle para mostrar que
possui então 2 raizes reais
e
. Continue e tente chegar nima contradicão.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação $ x^{4} + 4x + c = 0 $ e queremos mostrar que ela tem, no máximo, 2 raízes reais. Para isso, vamos usar o Teorema de Rolle. Esse teorema diz que se uma função contínua em um intervalo fechado tem duas raízes nesse intervalo, então a derivada dessa função tem pelo menos uma raiz dentro desse intervalo. Vamos seguir esses passos para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos supor, só para ver se dá certo, que a função $ f(x) = x^{4} + 4x + c $ tem 3 raízes reais. Vamos chamar essas raízes de $ x_{1} $, $ x_{2} $ e $ x_{3} $. Isso significa que $ f(x_{1}) = f(x_{2}) = f(x_{3}) = 0 $.
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema de Rolle, entre duas raízes quaisquer da função $ f(x) $, a derivada $ f’(x) $ deve ter pelo menos uma raiz. Como temos 3 raízes $ x_{1} $, $ x_{2} $ e $ x_{3} $, vamos ter duas regiões: entre $ x_{1} $ e $ x_{2} $ e entre $ x_{2} $ e $ x_{3} $. Logo, a derivada $ f’(x) $ deve ter pelo menos 2 raízes reais, digamos $ a_{1} $ e $ a_{2} $.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. Temos:
Agora, vamos encontrar as raízes de $ f’(x) = 0 $:
Então, a derivada $ f’(x) $ tem apenas uma raiz real, que é $ x = -1 $.
Passo 5
Perceba que a gente supôs que a função $ f(x) $ tinha 3 raízes reais, o que nos levou a concluir que a derivada $ f’(x) $ deveria ter pelo menos 2 raízes reais. Mas, na verdade, $ f’(x) $ tem apenas 1 raiz real. Isso é uma contradição!
Passo 6
Como nossa suposição de que $ f(x) $ tem 3 raízes reais levou a uma contradição, devemos concluir que essa suposição está errada. Portanto, a função $ f(x) = x^{4} + 4x + c $ não pode ter 3 raízes reais.
Resposta
Assim, a equação $ x^{4} + 4x + c = 0 $ tem, no máximo, 2 raízes reais.