Mostre que a equação x^4+4 x+c=0 tem, no máximo, 2 raízes reais. Dica: Use e MENCIONE o teorema de Rolle ( 4^3 ve.zestint). Suponha, por contradição que f(x)=x^4+4 x+c tem 3 raízes reais, digamos x1, x2, x3. Aplique o teorema de Rolle para mostrar que f^prime(x) possui então 2 raizes reais a1 e a2. Continue e tente chegar nima contradicão.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação $ x^{4} + 4x + c = 0 $ e queremos mostrar que ela tem, no máximo, 2 raízes reais. Para isso, vamos usar o Teorema de Rolle. Esse teorema diz que se uma função contínua em um intervalo fechado tem duas raízes nesse intervalo, então a derivada dessa função tem pelo menos uma raiz dentro desse intervalo. Vamos seguir esses passos para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos supor, só para ver se dá certo, que a função $ f(x) = x^{4} + 4x + c $ tem 3 raízes reais. Vamos chamar essas raízes de $ x_{1} $, $ x_{2} $ e $ x_{3} $. Isso significa que $ f(x_{1}) = f(x_{2}) = f(x_{3}) = 0 $.

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema de Rolle, entre duas raízes quaisquer da função $ f(x) $, a derivada $ f’(x) $ deve ter pelo menos uma raiz. Como temos 3 raízes $ x_{1} $, $ x_{2} $ e $ x_{3} $, vamos ter duas regiões: entre $ x_{1} $ e $ x_{2} $ e entre $ x_{2} $ e $ x_{3} $. Logo, a derivada $ f’(x) $ deve ter pelo menos 2 raízes reais, digamos $ a_{1} $ e $ a_{2} $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. Temos:
f(x)
Agora, vamos encontrar as raízes de $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = ddx(x^4 + 4x + c) = 4x^3 + 4
Então, a derivada $ f’(x) $ tem apenas uma raiz real, que é $ x = -1 $.

Passo 5

Perceba que a gente supôs que a função $ f(x) $ tinha 3 raízes reais, o que nos levou a concluir que a derivada $ f’(x) $ deveria ter pelo menos 2 raízes reais. Mas, na verdade, $ f’(x) $ tem apenas 1 raiz real. Isso é uma contradição!

Passo 6

Como nossa suposição de que $ f(x) $ tem 3 raízes reais levou a uma contradição, devemos concluir que essa suposição está errada. Portanto, a função $ f(x) = x^{4} + 4x + c $ não pode ter 3 raízes reais.

Resposta

Assim, a equação $ x^{4} + 4x + c = 0 $ tem, no máximo, 2 raízes reais.

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