The Debye functions,
, are important in theories of the specific heat of metals:
(b) Although this integral is improper at the lower limit, the impropriety is removable by the appropriate assignment of value to the integrand at
. Do this and then apply Simpson’s Rule (
) to estimate
.
Passo 1
O enunciado dá a família de funções de Debye
e pede, especificamente, para a parte (b): (i) mostrar que a impropriedade na integral em
é removível e atribuir o valor apropriado da integranda em
; (ii) aplicar a Regra de Simpson composta com
(isto é, 8 subintervalos) para estimar
.
Informações relevantes:
- A integral é no intervalo
. - A função integranda é
, que é aparentemente singular em . - Deve usar a Regra de Simpson composta com
subintervalos (portanto é par).
Passo 2
Removendo a impropriedade em
.
Queremos o limite
Para analisar esse limite usamos a expansão em série conhecida
logo
Multiplicando por
obtemos a expansão útil para a integranda:
Dessa expansão segue imediatamente que
Portanto a impropriedade é removível e definimos o valor da integranda em
por
Passo 3
Apresentando a Regra de Simpson composta e os parâmetros.
No método de Simpson composto para o intervalo
com
subintervalos tomamos
Os nós são
para
.
A fórmula de Simpson composta é
A fórmula de Simpson composta é
onde
.
Passo 4
Cálculo dos valores
nos nove nós. Usarei a expansão
para calcular
nos nós (suficientemente precisa aqui). Nos pontos pequenos a série converge rápido; em
usarei o valor exato
.
Os nós:
Agora os valores aproximados (com arredondamento razoável):
-
(pela remoção da singularidade). - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
é exato:
(Observação didática: a série usada vem de
. Multiplicando por
obtemos a expressão prática
, que é muito conveniente para calcular
sem usar uma calculadora de exponencial direta.)
Passo 5
Aplicando a Regra de Simpson composta.
Primeiro somas necessárias:
Compute o coeficiente na fórmula de Simpson:
Substituindo os números:
Calculando:
Finalmente
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida: o valor aproximado obtido por Simpson com
é
Esse valor está coerente com a forma da integranda (crescente e combinada com decaimento exponencial), e a precisão é adequada para um procedimento com 8 subintervalos. Se quiser maior precisão na prova, pode aumentar
ou usar uma calculadora para avaliar
diretamente, mas o procedimento mostrado é o que se pede: remover a singularidade (definindo
) e aplicar Simpson composta.
Resposta
0{,}35476974