The Debye functions, \{D(n, x)\}_{n-1}^{\infty}, are important in theories of the specific heat of metals:
D(n, x)=\int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{e^{t}-1} d t, \quad|x|<2 \pi
(b) Although this integral is improper at the lower limit, the impropriety is removable by the appropriate assignment of value to the integrand at t=0. Do this and then apply Simpson’s Rule ( n=8 ) to estimate D(2,1).

Passo 1

O enunciado dá a família de funções de Debye
D(n,x)=\int_{0}^{x}\frac{t^{n}}{e^{t}-1}\,dt,\qquad |x|<2\pi
e pede, especificamente, para a parte (b): (i) mostrar que a impropriedade na integral em t=0 é removível e atribuir o valor apropriado da integranda em t=0; (ii) aplicar a Regra de Simpson composta com n=8 (isto é, 8 subintervalos) para estimar D(2,1)=\int_{0}^{1}\dfrac{t^{2}}{e^{t}-1}\,dt.
Informações relevantes:
  • A integral é no intervalo [0,1].
  • A função integranda é f(t)=\dfrac{t^{2}}{e^{t}-1}, que é aparentemente singular em t=0.
  • Deve usar a Regra de Simpson composta com n=8 subintervalos (portanto n é par).

Passo 2

Removendo a impropriedade em t=0.
Queremos o limite
\lim_{t\to 0}\frac{t^{2}}{e^{t}-1}.
Para analisar esse limite usamos a expansão em série conhecida
e^{t}-1=t+\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{6}+\frac{t^{4}}{24}+\cdots,
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\frac{1}{e^{t}-1}=\frac{1}{t}-\frac{1}{2}+\frac{t}{12}-\frac{t^{3}}{720}+\cdots.
Multiplicando por t^{2} obtemos a expansão útil para a integranda:
\frac{t^{2}}{e^{t}-1}=t-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{12}-\frac{t^{5}}{720}+\cdots.
Dessa expansão segue imediatamente que
\lim_{t\to 0}\frac{t^{2}}{e^{t}-1}=0.
Portanto a impropriedade é removível e definimos o valor da integranda em t=0 por
f(0)=0.

Passo 3

Apresentando a Regra de Simpson composta e os parâmetros.
No método de Simpson composto para o intervalo [0,1] com n=8 subintervalos tomamos
h=\frac{1-0}{8}=\frac{1}{8}=0,125.
Os nós são t_{i}=0+i h para i=0,1,\dots,8.
A fórmula de Simpson composta é
\int_{0}^{1} f(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\Bigl[f_{0}+f_{8}+4\sum_{\text{ímpares }i} f_{i}+2\sum_{\substack{\text{pares }i\\\ i\ne 0,8}} f_{i}\Bigr],í
onde f_{i}=f(t_{i}).

Passo 4

Cálculo dos valores f_{i}=f(t_{i}) nos nove nós. Usarei a expansão
\frac{t^{2}}{e^{t}-1}=t-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{12}-\frac{t^{5}}{720}+\cdots
para calcular f(t) nos nós (suficientemente precisa aqui). Nos pontos pequenos a série converge rápido; em t=1 usarei o valor exato f(1)=\dfrac{1}{e-1}.
Os nós:
t_{0}=0,\; t_{1}=0{,}125,\; t_{2}=0{,}25,\; t_{3}=0{,}375,\; t_{4}=0{,}5,
t_{5}=0{,}625,\; t_{6}=0{,}75,\; t_{7}=0{,}875,\; t_{8}=1.
Agora os valores aproximados (com arredondamento razoável):
  • f_{0}=f(0)=0 (pela remoção da singularidade).
  • Para t_{1}=0{,}125: f_{1}\approx 0{,}125-\frac{0{,}125^{2}}{2}+\frac{0{,}125^{3}}{12}-\frac{0{,}125^{5}}{720}\approx 0{,}11735022.
  • Para t_{2}=0{,}25: f_{2}\approx 0{,}25-\frac{0{,}25^{2}}{2}+\frac{0{,}25^{3}}{12}-\frac{0{,}25^{5}}{720}\approx 0{,}22005073.
  • Para t_{3}=0{,}375: f_{3}\approx 0{,}375-\frac{0{,}375^{2}}{2}+\frac{0{,}375^{3}}{12}-\frac{0{,}375^{5}}{720}\approx 0{,}30907173.
  • Para t_{4}=0{,}5: f_{4}\approx 0{,}5-\frac{0{,}5^{2}}{2}+\frac{0{,}5^{3}}{12}-\frac{0{,}5^{5}}{720}\approx 0{,}38537326.
  • Para t_{5}=0{,}625: f_{5}\approx 0{,}625-\frac{0{,}625^{2}}{2}+\frac{0{,}625^{3}}{12}-\frac{0{,}625^{5}}{720}\approx 0{,}44990010.
  • Para t_{6}=0{,}75: f_{6}\approx 0{,}75-\frac{0{,}75^{2}}{2}+\frac{0{,}75^{3}}{12}-\frac{0{,}75^{5}}{720}\approx 0{,}50357666.
  • Para t_{7}=0{,}875: f_{7}\approx 0{,}875-\frac{0{,}875^{2}}{2}+\frac{0{,}875^{3}}{12}-\frac{0{,}875^{5}}{720}\approx 0{,}54730191.
  • Para t_{8}=1 é exato: f_{8}= \frac{1^{2}}{e^{1}-1}=\frac{1}{e-1}\approx 0{,}5819767069.
(Observação didática: a série usada vem de 1/(e^{t}-1)=1/t-1/2+t/12-\cdots. Multiplicando por t^{2} obtemos a expressão prática t - t^{2}/2 + t^{3}/12 - t^{5}/720+\cdots, que é muito conveniente para calcular f(t) sem usar uma calculadora de exponencial direta.)

Passo 5

Aplicando a Regra de Simpson composta.
Primeiro somas necessárias:
\sum_{\text{ímpares }i} f_{i}=f_{1}+f_{3}+f_{5}+f_{7}í
=0{,}11735022+0{,}30907173+0{,}44990010+0{,}54730191
\approx 1{,}42362396.
\sum_{\substack{\text{pares }i\\\ i\ne 0,8}} f_{i}=f_{2}+f_{4}+f_{6}
=0{,}22005073+0{,}38537326+0{,}50357666
\approx 1{,}10900065.
Compute o coeficiente na fórmula de Simpson:
S=\;f_{0}+f_{8}+4\sum_{\text{ímpares}}f_{i}+2\sum_{\substack{\text{pares}\i\ne0,8}}f_{i}.
Substituindo os números:
S\approx 0 + 0{,}5819767069 +4(1{,}42362396)+2(1{,}10900065).
Calculando:
4(1{,}42362396)\approx 5{,}69449584,\qquad 2(1{,}10900065)\approx 2{,}21800130.
S\approx 0{,}5819767069+5{,}69449584+2{,}21800130\approx 8{,}49447385.
Finalmente
\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{e^{t}-1}\,dt \approx \frac{h}{3}S = \frac{0{,}125}{3}\cdot 8{,}49447385 = \frac{1}{24}\cdot 8{,}49447385.
\frac{1}{24}\cdot 8{,}49447385 \approx 0{,}35476974.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: o valor aproximado obtido por Simpson com n=8 é
D(2,1)\approx 0{,}35476974.
Esse valor está coerente com a forma da integranda (crescente e combinada com decaimento exponencial), e a precisão é adequada para um procedimento com 8 subintervalos. Se quiser maior precisão na prova, pode aumentar n ou usar uma calculadora para avaliar f_{i} diretamente, mas o procedimento mostrado é o que se pede: remover a singularidade (definindo f(0)=0) e aplicar Simpson composta.

Resposta

0{,}35476974

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