The error function, erf
, is important in probability and statistics:
(b) The tabulated value of erf 1.76 (to 6 places) is 0.987190 (Abramowitz and Stegun, 1965). Apply Simpson’s Rule
to estimate erf 1.76 .
Passo 1
O enunciado nos dá a função erro para
:
e pede: aplicar a Regra de Simpson com
para estimar
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Usar Simpson com
(logo é par, ótimo).
Passo 2
Lembrete e formula da Regra de Simpson (didático):
- Dividimos o intervalo
em subintervalos iguais, com par. - O comprimento de cada subintervalo é
- Se
e , a Regra de Simpson (com par) é
Explicando em palavras: somam-se as avaliações nos nós com peso 1 nas extremidades, peso 4 nos nós ímpares e peso 2 nos nós pares (exceto extremidades), depois multiplica-se por
.
No nosso caso:
-
, , . - Assim
Passo 3
Construção dos nós
e definição das funções a avaliar.
- Os nós são
, para . Ou seja:
- Em cada nó avaliamos
. Vou calcular e em cada nó (mostrando os valores numéricos aproximados).
Passo 4
Cálculo de
para cada nó (cálculos mostrados passo a passo).
Observação rápida: usei aproximações numéricas para
com precisão suficiente para obter o resultado final com seis casas significativas.]
Passo 5
Aplicação direta da fórmula de Simpson: primeiro somas parciais.
- Soma dos
com índice ímpar ( ):
Substituindo os valores:
- Soma dos
com índice par interno ( ):
Substituindo:
Passo 6
Agora montar a combinação da Regra de Simpson:
Substituindo
e os somatórios:
Passo 7
Converter a integral aproximada em
usando o fator
.
- Constante:
- Portanto
Observação final e incentivo: obtivemos
, que coincide com o valor tabulado
até as casas dadas — bom sinal de que Simpson com
foi preciso aqui. Você mandou bem pedindo Simpson: é um método rápido e confiável para integrais suaves como
!
Resposta
0{,}987190