Encontre o valor de A in R para que a função seja contínua em (0,0) :
f(x, y)=cy^2 sen(x), se (x, y) neq(0,0) A^2-5 A, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Temos a função f:R^2toR definida por
f(x,y)= y^2sen(x),&(x,y)neq(0,0), A^2-5A,&(x,y)=(0,0)
Queremos encontrar AinR para que f seja contínua em (0,0). Para isso, vamos calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) e igualar ao valor no ponto.

Passo 2

Para estimar o limite, note que sen(x) é limitado por -1<=sen(x)<=1. Logo, para (x,y)neq(0,0), temos
|f(x,y)|=|y^2sen(x)|<= y^2
Como (x,y)to(0,0), certamente y^2to0. Pelo teorema do confronto, fica
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 3

Para ter continuidade em (0,0), é preciso que
f(0,0)=lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
Isto é,
A^2-5A=0
Resolvendo a equação quadrática, fatoramos
A(A-5)=0
e obtemos as raízes A=0 ou A=5.

Resposta

A = 0 ou A = 5

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