Seja lambda(x, y) é uma função definida em um subconjunto aberto A de R^2 tal que se verifica para todo ponto (x, y) in A a igualdade 2 lambda(x, y)=-(x partial lambda(x, y)partial x+y partial lambda(x, y)partial y). Mostre que existe uma função f definida em A tal que nabla f(x, y)=(-y lambda(x, y), x lambda(x, y)), para todo (x, y) in A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que existe uma função $ f $ definida no conjunto aberto $ A $ tal que o gradiente de $ f $ é igual a $ (-y \lambda(x, y), x \lambda(x, y)) $. Estamos lidando com cálculo vetorial aqui, mais especificamente com gradientes e condições para que um campo vetorial seja o gradiente de alguma função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente, condições de integrabilidade e como construir a função $ f $ a partir do gradiente dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é dado por:
f(x, y)
No nosso caso, queremos que:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Isso significa que:
nabla f(x, y) = (-y lambda(x, y), x lambda(x, y))

Passo 3

Para garantir que existe uma função $ f $ que satisfaz essas equações, precisamos verificar se o campo vetorial $ (-y \lambda, x \lambda) $ é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se a sua rotacional for zero. No caso de funções de duas variáveis, isso significa que:
f
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Primeiro, calculemos $ \frac{\partial}{\partial y} (-y \lambda) $:
partialpartial y (-y lambda)
Agora, calculemos $ \frac{\partial}{\partial x} (x \lambda) $:
partialpartial y (-y lambda) = -lambda - y partial lambdapartial y

Passo 5

Para que o campo vetorial seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais:
-lambda - y partial lambdapartial y = lambda + x partial lambdapartial x
Vamos rearranjar essa equação:
-x partial lambdapartial x - y partial lambdapartial y = 2 lambda
Esse resultado é exatamente a condição dada no enunciado:
2 lambda = -( x partial lambdapartial x + y partial lambdapartial y )

Passo 6

Como a condição de conservatividade está satisfeita, sabemos que existe uma função $ f $ cuja gradiente é o campo vetorial dado. Agora, vamos encontrar essa função $ f $.
Para isso, podemos integrar $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em relação a $ x $:
f
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e surge da constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos derivar $ f(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ \frac{\partial f}{\partial y} = x \lambda(x, y) $:
f(x, y)
Para que essa igualdade seja válida para todos os $ (x, y) \in A $, a função $ g’(y) $ deve ser zero, ou seja, $ g(y) $ é constante.

Passo 8

Portanto, a função $ f(x, y) $ que satisfaz $ \nabla f = (-y \lambda, x \lambda) $ é dada por:
f(x, y)
Onde $ C $ é uma constante.

Resposta

Existe, em $ A $, uma função $ f $ definida por
A
tal que $ \nabla f(x, y) = (-y \lambda(x, y), x \lambda(x, y)) $ para todo $ (x, y) \in A $.

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