Seja
é uma função definida em um subconjunto aberto
de
tal que se verifica para todo ponto
a igualdade
. Mostre que existe uma função
definida em
tal que
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que existe uma função $ f $ definida no conjunto aberto $ A $ tal que o gradiente de $ f $ é igual a $ (-y \lambda(x, y), x \lambda(x, y)) $. Estamos lidando com cálculo vetorial aqui, mais especificamente com gradientes e condições para que um campo vetorial seja o gradiente de alguma função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente, condições de integrabilidade e como construir a função $ f $ a partir do gradiente dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é dado por:
No nosso caso, queremos que:
Isso significa que:
Passo 3
Para garantir que existe uma função $ f $ que satisfaz essas equações, precisamos verificar se o campo vetorial $ (-y \lambda, x \lambda) $ é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se a sua rotacional for zero. No caso de funções de duas variáveis, isso significa que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Primeiro, calculemos $ \frac{\partial}{\partial y} (-y \lambda) $:
Agora, calculemos $ \frac{\partial}{\partial x} (x \lambda) $:
Passo 5
Para que o campo vetorial seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais:
Vamos rearranjar essa equação:
Esse resultado é exatamente a condição dada no enunciado:
Passo 6
Como a condição de conservatividade está satisfeita, sabemos que existe uma função $ f $ cuja gradiente é o campo vetorial dado. Agora, vamos encontrar essa função $ f $.
Para isso, podemos integrar $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em relação a $ x $:
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e surge da constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos derivar $ f(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ \frac{\partial f}{\partial y} = x \lambda(x, y) $:
Para que essa igualdade seja válida para todos os $ (x, y) \in A $, a função $ g’(y) $ deve ser zero, ou seja, $ g(y) $ é constante.
Passo 8
Portanto, a função $ f(x, y) $ que satisfaz $ \nabla f = (-y \lambda, x \lambda) $ é dada por:
Onde $ C $ é uma constante.
Resposta
Existe, em $ A $, uma função $ f $ definida por
tal que $ \nabla f(x, y) = (-y \lambda(x, y), x \lambda(x, y)) $ para todo $ (x, y) \in A $.