Uma partícula se movimenta entre os pontos (2,0,0) e (0,1, pi / 2) do espaço ao longo da hélice r(t):=(2 cos (t), sin (t), t). Considerando os campos vetoriais F(x, y, z):=-y i+x j+4 z k e G=nabla g onde g(x, y, z)=x+y-e^2 x y z, denotamos por TF e TG os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos F e G respectivamente. Então podemos concluir que:
Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular os trabalhos T_F e T_G de uma partícula que vai de (2,0,0) a (0,1,π/2) seguindo a hélice r(t)=(2 cos t, sin t, t), usando o campo F(x,y,z)=−y i+x j+4z k e G=∇g com g(x,y,z)=x+y−e^{2xyz}. Vamos usar integral de linha e a propriedade de campo conservativo.

Passo 2

Primeiro, para T_F fazemos a parametrização r(t) com t variando de 0 a π/2 e calculamos r’(t) e F(r(t)). Temos
r(t)=(2cos t,,sin t,,t), r'(t)=(-2sin t,,cos t,,1),
F(r(t))=(-sin t,,2cos t,,4t)

Passo 3

O produto escalar é
F(r(t))cdot r'(t)=(-sin t)(-2sin t)+(2cos t)(cos t)+(4t)(1)=2sin^2 t+2cos^2 t+4t=2+4t

Passo 4

Agora basta integrar de t=0 a t=π/2:
TF=integral0^pi/2(2+4t),dt=l[2t+2t^2r]0^pi/2=pi+pi^22

Passo 5

Como G=∇g é conservativo, T_G depende só dos valores de g nos pontos finais. Logo
TG=g(0,1,tfracpi2)-g(2,0,0)

Passo 6

Calculando g nos pontos:
g(2,0,0)=2+0-e^0=1, g(0,1,tfracpi2)=0+1-e^0=0

Passo 7

Portanto
TG=0-1=-1

Resposta

T_F=\pi+\tfrac{\pi^2}{2},\quad T_G=-1

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