Uma partícula se movimenta entre os pontos
e
do espaço ao longo da hélice
. Considerando os campos vetoriais
e
onde
, denotamos por
e
os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos
e
respectivamente. Então podemos concluir que:
Nenhuma das outras alternativas.
Nenhuma das outras alternativas.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular os trabalhos T_F e T_G de uma partícula que vai de (2,0,0) a (0,1,π/2) seguindo a hélice r(t)=(2 cos t, sin t, t), usando o campo F(x,y,z)=−y i+x j+4z k e G=∇g com g(x,y,z)=x+y−e^{2xyz}. Vamos usar integral de linha e a propriedade de campo conservativo.
Passo 2
Primeiro, para T_F fazemos a parametrização r(t) com t variando de 0 a π/2 e calculamos r’(t) e F(r(t)). Temos
Passo 3
O produto escalar é
Passo 4
Agora basta integrar de t=0 a t=π/2:
Passo 5
Como G=∇g é conservativo, T_G depende só dos valores de g nos pontos finais. Logo
Passo 6
Calculando g nos pontos:
Passo 7
Portanto
Resposta
T_F=\pi+\tfrac{\pi^2}{2},\quad T_G=-1