Encontre o valor das integrais abaixo com erro inferior a 0,01 . \int_{0}^{1} e^{-x^{3}} d x
Passo 1
O enunciado pede aproximar a integral
\int_{0}^{1} e^{-x^{3}}\,dx
com erro inferior a 0,01.
Informações dadas:
O integrando é e^{-x^{3}}.
O intervalo de integração é [0,1].
Precisa-se de uma aproximação numérica cujo erro absoluto seja menor que 0,01.
Passo 2
Ideia do método (sem ainda calcular): expandir e^{-x^{3}} em série de potências (a série de Taylor de e^{u} em u=0 com u=-x^{3}), integrar termo a termo e usar o teorema da série alternada para controlar o erro. Vou explicar cada passo com calma.
válida para todo x real (a série de e^{u} converge para todo u).
Explicação rápida: cada termo é obtido pela fórmula da série de Maclaurin; a série converge absolutamente em \mathbb{R}, logo converge uniformemente em [0,1], o que permite integrar termo a termo (isso garante legitimidade do passo seguinte).
Passo 3
Integrando termo a termo em [0,1] (justificado pela convergência uniforme):
Analisar a natureza da série para estimar o erro. Definimos os termos
a_{n}=\frac{1}{n!(3n+1)}\quad\text{(magnitudes dos termos, todos positivos)}.
A série é alternada porque os sinais são (-1)^{n}. Para usar o critério da série alternada (Leibniz) precisamos que a_{n} seja monótona decrescente e que a_{n}\to0.
Para n\ge0 temos \dfrac{3n+1}{3n+4}<1 e \dfrac{1}{n+1}\le1, mais precisamente para n\ge1 a razão é <\dfrac{1}{2}, logo a_{n+1}<a_{n}. Também a_{n}\to0 porque n! cresce muito. Assim podemos aplicar o teorema da série alternada: o erro ao truncar após N termos (isto é, usar a soma parcial S_{N}=\sum_{n=0}^{N}(-1)^{n}a_{n}) tem módulo menor ou igual a a_{N+1} (o termo imediatamente seguinte).
Resumo do teorema usado: se \sum (-1)^{n}a_{n} tem a_{n} decrescente e a_{n}\to0, então o erro ao truncar depois de N termos é |R_N|\le a_{N+1}.
Passo 5
Vamos calcular termos sucessivos até que o primeiro termo omitido seja menor que 0,01. Calcular os primeiros a_{n} e os termos com sinal:
Aplicando o critério da série alternada: se truncarmos após o termo n=6 (ou seja, tomamos S_{6}), o erro absoluto será no máximo a_{7}. Mas já com muito menos termos podemos alcançar erro <0,01: por exemplo, a_{4}=\dfrac{1}{312}\approx0,003205<0,01. Logo truncar após n=3 (usar S_{3}) já garante erro <0,01. Quero, porém, fornecer uma aproximação ainda melhor: vou calcular S_{6}, cuja ordem de erro é \le a_{7}\approx9{,}0\cdot10^{-6}, muito menor que 0,01.
Passo 6
Calcule a soma parcial S_{6}=\sum_{n=0}^{6}(-1)^{n}a_{n} usando as aproximações decimais dos termos:
Assim S_{6} aproxima a integral com muito mais precisão do que o exigido.
Passo 7
Conclusão prática: uma boa aproximação com erro absoluto menor que 0,01 é S_{6}. Arredondando razoavelmente (por exemplo, a cinco casas decimais) obtemos a resposta final desejada.