Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo R=[0,1] times[0,1] : b) integral duplaR y e^x y d A

Passo 1

O problema pede para calcular a integral dupla integral duplaR y e^x y ,dA no retângulo R=[0,1]times[0,1]. O conteúdo é integrais duplas e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada e depois integrar funções exponenciais.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever a integral como iterada. Vou integrar primeiro em x e depois em y:
integral duplaR y e^x y ,dA = integraly=0^1 l(integralx=0^1 y e^x y ,dxr) dy

Passo 3

Para calcular a integral interna em x, observe que
integral0^1 y e^x y ,dx = y integral0^1 e^x y ,dx
Como integral e^x y ,dx = 1y e^x y, vem
y cdot l[tfrac1y e^x yr]0^1 = y cdot l(1ye^y - 1ye^0r) = e^y - 1

Passo 4

Restou agora a integral em y:
integral0^1 (e^y - 1) ,dy = integral0^1 e^y ,dy - integral0^1 1 ,dy
Calculando separadamente:
integral0^1 e^y ,dy = [e^y]0^1 = e - 1,
integral0^1 1 ,dy = 1
Fazendo a diferença, obtemos (e - 1) - 1 = e - 2.

Resposta

e - 2

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