Sejam f(x, y)=(x+y) e^y com x(u, v)=u^2+v^2 e y(u, v)= u^2-v^2. Calcule partial f / partial u e partial f / partial v.

Passo 1

Temos a função de duas variáveis definida por f(x,y) = (x+y)e^y, com x(u,v)=u^2+v^2 e y(u,v)=u^2-v^2. O conteúdo é derivação de funções compostas, e vamos usar a regra da cadeia para calcular partial f/partial u e partial f/partial v.

Passo 2

Primeiro, calcule as derivadas parciais de x e y:
xu = 2u, xv = 2v, yu = 2u, yv = -2v

Passo 3

Agora, calcule as derivadas parciais de f em relação a x e y. Para f(x,y)=(x+y)e^y, temos:
fx = e^y, fy = (1 + x + y)e^y

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, obtemos:
partial fpartial u = fx,xu + fy,yu = e^ycdot2u + (1+x+y)e^ycdot2u = 2u,e^y,(2 + x + y),
partial fpartial v = fx,xv + fy,yv = e^ycdot2v + (1+x+y)e^ycdot(-2v) = -2v,(x+y),e^y

Passo 5

Por fim, substituindo x = u^2+v^2 e y = u^2 - v^2 e usando e^y = e^u^2-v^2, simplificamos:
partial fpartial u = 2u,e^u^2-v^2(2 + 2u^2) = 4u(u^2+1)e^u^2-v^2,
partial fpartial v = -2v(2u^2)e^u^2-v^2 = -4u^2v e^u^2-v^2

Resposta

partial fpartial u = 4u(u^2+1)e^u^2-v^2
partial fpartial v = -4u^2v e^u^2-v^2

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