Encontre o valor da integral de
em torno do círculo
orientado positivamente se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da integral de $ g(z) = \frac{1}{(z^2 + 4)^2} $ ao redor do círculo $ |z - i| = 2 $ com orientação positiva. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos. Precisamos identificar os polos de $ g(z) $, verificar quais estão dentro do círculo dado e calcular os resíduos para encontrar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função $ g(z) $ tem singularidades, ou seja, onde o denominador é zero. Temos:
Então, $ g(z) $ tem polos de segunda ordem (porque está ao quadrado) em $ z = 2i $ e $ z = -2i $.
Passo 3
Agora, precisamos saber quais desses polos estão dentro do círculo $ |z - i| = 2 $. Vamos calcular a distância de cada polo ao centro do círculo, que é $ i $.
Para $ z = 2i $:
Para $ z = -2i $:
Como a distância de $ 2i $ ao centro é 1, que é menor que o raio 2, $ 2i $ está dentro do círculo. Já $ -2i $ está fora, pois 3 é maior que 2.
Passo 4
Como só temos o polo $ 2i $ dentro do círculo, vamos calcular o resíduo de $ g(z) $ nesse ponto. Como é um polo de segunda ordem, usamos a fórmula do resíduo para polos duplos:
Substituindo $ g(z) $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da derivada. Sabemos que $ z^2 + 4 = (z - 2i)(z + 2i) $, então:
Agora, a derivada fica mais simples:
Passo 6
Aplicando o limite:
Calculando $ (4i)^3 $:
Portanto:
Passo 7
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral ao redor do círculo é $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos dentro do caminho. Como temos apenas um resíduo:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{\pi}{16} $.