Resolva utilizando frações parciais
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular a integral de uma função racional usando frações parciais:
Para isso, precisaremos reunir conceitos de simplificação de expressões algébricas, divisão de polinômios e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, simplificamos o denominador combinando termos semelhantes e fazemos a divisão polinomial, pois o grau do numerador é igual ao do denominador:
Dividindo
por
: o quociente é
e o resto é
Logo,
Assim,
Passo 3
Para decompor a fração própria, escrevemos o numerador
como combinação da derivada do denominador e de uma constante:
Derivada de é
, então buscamos
.
Igualando coeficientes, obtemos
Derivada de
Igualando coeficientes, obtemos
Logo,
Substituindo na integral remanescente,
Passo 4
Agora, integramos cada parte:
-
é do tipo , pois . Então
- Para
, encontramos as raízes da quadrática via fórmula de Bhaskara:integral dx2x^2+3x-1
Usando a decomposição padrão, chega-se a