Resolva utilizando frações parciais
integral x^2+x-23 x^2-x^2+3 x-1 d x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral de uma função racional usando frações parciais:
integral x^2+x-23x^2-x^2+3x-1,dx
Para isso, precisaremos reunir conceitos de simplificação de expressões algébricas, divisão de polinômios e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o denominador combinando termos semelhantes e fazemos a divisão polinomial, pois o grau do numerador é igual ao do denominador:
3x^2-x^2+3x-1=2x^2+3x-1
Dividindo x^2+x-2 por 2x^2+3x-1: o quociente é 1/2 e o resto é
(x^2+x-2)-tfrac12(2x^2+3x-1)=-tfrac12x-tfrac32
Logo,
x^2+x-22x^2+3x-1=12-12cdotx+32x^2+3x-1
Assim,
integral x^2+x-22x^2+3x-1dx=12integral dx-12integral x+32x^2+3x-1dx

Passo 3

Para decompor a fração própria, escrevemos o numerador x+3 como combinação da derivada do denominador e de uma constante:
Derivada de 2x^2+3x-1 é 4x+3, então buscamos x+3=alpha(4x+3)+beta.
Igualando coeficientes, obtemos
4alpha=1 Rightarrow alpha=tfrac14,
3alpha+beta=3 Rightarrow beta=3-tfrac34=tfrac94
Logo,
x+32x^2+3x-1=144x+32x^2+3x-1+9412x^2+3x-1
Substituindo na integral remanescente,
integral x+32x^2+3x-1dx=14integral 4x+32x^2+3x-1dx+94integral dx2x^2+3x-1

Passo 4

Agora, integramos cada parte:
  1. integral 4x+32x^2+3x-1dx é do tipo f'(x)/f(x), pois 4x+3=(2x^2+3x-1)'. Então
integral 4x+32x^2+3x-1dx=lnl|2x^2+3x-1r|
  1. Para integral dx2x^2+3x-1, encontramos as raízes da quadrática via fórmula de Bhaskara:
x=-3pmraiz9+84=-3pmraiz174
Usando a decomposição padrão, chega-se a
integral dx2x^2+3x-1= rac1raiz17ln|4x+3-raiz174x+3+raiz17|

Resposta

x2-18lnl|2x^2+3x-1r|-98raiz17ln|4x+3-raiz174x+3+raiz17|+C

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