Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela revolução em torno do eixo x da área delimitada pelas curvas
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Passo 1
A área está limitada pelas curvas y = √(25 – x²) (o semicírculo de raio 5) e y = 3, e vamos girar essa região em torno do eixo x. O que precisamos aqui é usar o método dos discos ou anéis (washers) do Cálculo Integral para volume de revolução, cuja fórmula geral é
Para usar o método dos anéis, primeiro achamos onde as curvas se encontram resolvendo √(25 – x²) = 3. Elevando ao quadrado:
Para usar o método dos anéis, primeiro achamos onde as curvas se encontram resolvendo √(25 – x²) = 3. Elevando ao quadrado:
Passo 2
Agora determinamos o intervalo de integração: a igualdade acima dá x² = 16, ou seja x = ±4. Logo, vamos integrar de x = –4 até x = 4.
Em seguida, identificamos o raio externo R(x) e o raio interno r(x) na rotação em torno do eixo x:
Com isso, a fórmula do volume por anéis é
Em seguida, identificamos o raio externo R(x) e o raio interno r(x) na rotação em torno do eixo x:
Com isso, a fórmula do volume por anéis é
Passo 3
Restou calcular a integral:
Ao avaliar de –4 a 4:
Esse resultado nos dá o volume final do sólido gerado.
Ao avaliar de –4 a 4:
Esse resultado nos dá o volume final do sólido gerado.