Seja
a fronteira do quadrado no plano complexo cujos lados estão ao longo das linhas
e
, descrito no sentido positivo. Calcule cada uma destas integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
, onde
é a fronteira do quadrado centrado em 0 com vértices em
. O conteúdo envolvido é a aplicação da fórmula de Cauchy para derivadas de funções analíticas.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de Cauchy para derivadas, que diz:
Aqui escolhemos
,
e
, ou seja,
.
Passo 3
Precisamos então calcular a derivada de ordem 3 de
em zero. Como
,
segue que
.
segue que
Passo 4
Substituindo na fórmula de Cauchy:
Portanto a integral vale zero.
Resposta
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