Seja C a fronteira do quadrado no plano complexo cujos lados estão ao longo das linhas x= pm 2 e y= pm 2, descrito no sentido positivo. Calcule cada uma destas integrais.
integralC cosh z d zz^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno integralCcosh zz^4,dz, onde C é a fronteira do quadrado centrado em 0 com vértices em pm2pm2i. O conteúdo envolvido é a aplicação da fórmula de Cauchy para derivadas de funções analíticas.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Cauchy para derivadas, que diz:
integralCf(z)(z-z0)^n+1,dz=2pi in!,f^(n)(z0)
Aqui escolhemos f(z)=cosh z, z0=0 e n+1=4, ou seja, n=3.

Passo 3

Precisamos então calcular a derivada de ordem 3 de f em zero. Como
f(z)=cosh z
f'(z)=sinh z
f''(z)=cosh z
f^(3)(z)=sinh z,
segue que
f^(3)(0)=sinh0=0.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Cauchy:
integralCcosh zz^4,dz = 2pi i3!,f^(3)(0) = 2pi i6cdot 0 = 0
Portanto a integral vale zero.

Resposta

0

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