Seja C a fronteira do quadrado no plano complexo cujos lados estão ao longo das linhas x= pm 2 e y= pm 2, descrito no sentido positivo. Calcule cada uma destas integrais.
integralC sech(z) d zz(z-pi^2 raiz2 / e)(z-e^2 raiz2 / pi)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
integralCsech(z)z,(z-a),(z-b),dz, e 𝐶 é a fronteira do quadrado { a=pi^2raiz2e, b=e^2raiz2pi} orientado positivamente. O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos, e vamos precisar listar e classificar os polos dentro de 𝐶, calcular cada resíduo e somar.

Passo 2

As singularidades de
são polos simples em:
1) z=0 (do denominador)
2) zeros de cosh(z), pois ;
\cosh(z)=0\iff z=i\bigl(\tfrac\pi2+k\pi\bigr).
No quadrado só entran os casos k=0 e k=–1, ou seja z=+iπ/2 e z=–iπ/2.

Passo 3

Residuo em z=0: como é polo simples,
Usando Res(f,0)=limzto0z,f(z)=limzto0sech(z)(z-a)(z-b)=sech(0)(-a)(-b)=1ab, vem

Passo 4

Residuo em z=iπ/2: como cosh(z0)=0 e sinh(z0)≠0, tem polo simples com . Logo
Mas sech(z), então

Passo 5

Residuo em z=–iπ/2: de modo análogo
Note que esses dois resíduos são complexos conjugados, então sua soma dá

Passo 6

Pela soma dos resíduos dentro de 𝐶 e o Teorema dos Resíduos,
Substituindo
obtemos a expressão final.

Passo 7

Aqui
a=tfracpi^2raiz2e, b=tfrace^2raiz2pi Portanto,

Resposta

2pi il(12pi e-4piRe1(itfracpi2-pi^2raiz2e)(itfracpi2-e^2raiz2pi)r)

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