Seja
a fronteira do quadrado no plano complexo cujos lados estão ao longo das linhas
e
, descrito no sentido positivo. Calcule cada uma destas integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
Passo 2
As singularidades de
são polos simples em:
1) z=0 (do denominador)
2) zeros de cosh(z), pois ;
\cosh(z)=0\iff z=i\bigl(\tfrac\pi2+k\pi\bigr).
No quadrado só entran os casos k=0 e k=–1, ou seja z=+iπ/2 e z=–iπ/2.
1) z=0 (do denominador)
2) zeros de cosh(z), pois ;
\cosh(z)=0\iff z=i\bigl(\tfrac\pi2+k\pi\bigr).
No quadrado só entran os casos k=0 e k=–1, ou seja z=+iπ/2 e z=–iπ/2.
Passo 3
Residuo em z=0: como é polo simples,
Usando
, vem
Passo 4
Residuo em z=iπ/2: como cosh(z0)=0 e sinh(z0)≠0, tem polo simples com . Logo
Mas
, então
Passo 5
Residuo em z=–iπ/2: de modo análogo
Note que esses dois resíduos são complexos conjugados, então sua soma dá
Passo 6
Pela soma dos resíduos dentro de 𝐶 e o Teorema dos Resíduos,
Substituindo
obtemos a expressão final.
Passo 7
Aqui