Nos problemas 7-16, resolva a equação.
(x+x y^2) d x+e^x^2 y d y=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial (x+xy^2),dx + e^x^2y,dy=0 usando fator integrante, pois não é exata à primeira vista.

Passo 2

Identificamos as funções M(x,y)=x+xy^2 e N(x,y)=e^x^2y. Calculamos as derivadas parciais:
My=2xy,
Nx=2x e^x^2y
Como Myneq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de x. Usamos
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Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x). Chamando tilde M=mu M e tilde N=mu N, fica exata. Verificamos que agora tilde My=tilde Nx=ye^-e^-x^2.

Passo 5

Para achar a função potencial Phi(x,y), integramos tilde M em relação a x:
integral x e^-x^2 -e^-x^2(1+y^2),dx=(1+y^2)integral x e^-x^2e^-e^-x^2,dx
Fazendo u=e^-x^2, obtemos
integral x u e^-u,dx=-tfrac12integral e^-u,du=tfrac12e^-u=tfrac12e^-e^-x^2
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Phi(x,y)=1+y^22e^-e^-x^2+g(y)

Passo 6

Derivando Phi em relação a y:
Phiy=y e^-e^-x^2+g'(y)
e igualando a tilde N=ye^-e^-x^2, concluímos g'(y)=0 e assim g(y)=C.

Resposta

(1+y2)e{-e{-x2}}=C

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