(1 ponto) Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o resíduo da função $ z^{2} \sin\left(\frac{1}{z}\right) $ no ponto $ z = 0 $. Estamos falando de Análise Complexa, especificamente sobre Resíduos e Séries de Laurent. Para resolver isso, vamos precisar expandir a função em uma série de Laurent e identificar o coeficiente que acompanha $ \frac{1}{z} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o resíduo. O resíduo de uma função complexa em um ponto é o coeficiente de $ \frac{1}{z - z_0} $ na expansão em série de Laurent da função em torno de $ z_0 $. No nosso caso, $ z_0 = 0 $, então precisamos encontrar o coeficiente de $ \frac{1}{z} $ na série de Laurent de $ z^{2} \sin\left(\frac{1}{z}\right) $.
Passo 3
Vamos expandir a função $ \sin\left(\frac{1}{z}\right) $ em série de Taylor, lembrando que para $ \sin(w) $, temos:
Substituindo $ w = \frac{1}{z} $, a série fica:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa série por $ z^{2} $:
Fazendo a multiplicação:
Passo 5
Observamos a série de Laurent obtida:
O resíduo é o coeficiente que acompanha $ \frac{1}{z} $. Nesse caso, o coeficiente é $ -\frac{1}{6} $.
Resposta
O resíduo de $ z^{2} \sin\left(\frac{1}{z}\right) $ em $ z = 0 $ é $ -\dfrac{1}{6} $.