(1 ponto) Determine o valor de Res(z^2 sin (1 / z) ; 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o resíduo da função $ z^{2} \sin\left(\frac{1}{z}\right) $ no ponto $ z = 0 $. Estamos falando de Análise Complexa, especificamente sobre Resíduos e Séries de Laurent. Para resolver isso, vamos precisar expandir a função em uma série de Laurent e identificar o coeficiente que acompanha $ \frac{1}{z} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o resíduo. O resíduo de uma função complexa em um ponto é o coeficiente de $ \frac{1}{z - z_0} $ na expansão em série de Laurent da função em torno de $ z_0 $. No nosso caso, $ z_0 = 0 $, então precisamos encontrar o coeficiente de $ \frac{1}{z} $ na série de Laurent de $ z^{2} \sin\left(\frac{1}{z}\right) $.

Passo 3

Vamos expandir a função $ \sin\left(\frac{1}{z}\right) $ em série de Taylor, lembrando que para $ \sin(w) $, temos:
sin(1z)
Substituindo $ w = \frac{1}{z} $, a série fica:
sin(w)

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa série por $ z^{2} $:
z^2
Fazendo a multiplicação:
z^2 sin(1z) = z^2 ( 1z - 16 z^3 + 1120 z^5 - cdots )

Passo 5

Observamos a série de Laurent obtida:
z - 16 z + 1120 z^3 - cdots
O resíduo é o coeficiente que acompanha $ \frac{1}{z} $. Nesse caso, o coeficiente é $ -\frac{1}{6} $.

Resposta

O resíduo de $ z^{2} \sin\left(\frac{1}{z}\right) $ em $ z = 0 $ é $ -\dfrac{1}{6} $.

Exercícios relacionados