Seja o campo vetorial:
F(x, y)=lang<= x^2 y^3, x^3 y^2rang<=
E a curva r(t) parametrizada por:
r(t)=(t^3-2 t, t^3+2 t), 0 <= t <= 1
Determine uma função f(x, y) tal que
F=nabla f

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma função $ f(x, y) $ tal que o campo vetorial dado $ \mathbf{F}(x, y) = \langle x^{2} y^{3}, x^{3} y^{2} \rangle $ seja igual ao gradiente de $ f $, ou seja, $ \mathbf{F} = \nabla f $. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \mathbf{F} = \nabla f $. O gradiente de uma função $ f $ é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de $ f $ e é dado por:
F = nabla f
Então, queremos encontrar $ f(x, y) $ tal que:
f

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a $ x $ para encontrar $ f $. Integrar $ \frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y^{3} $ em relação a $ x $ nos dá:
x
Aqui, $ g(y) $ é uma função de $ y $ que surge da constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação $ \frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} y^{2} $ para encontrar $ g(y) $. Calculando a derivada de $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
partial fpartial y = x^3 y^2
Isso deve ser igual a $ x^{3} y^{2} $, então:
g(y)
Integrando $ g’(y) = 0 $ em relação a $ y $, obtemos:
f(x, y)
onde $ C $ é uma constante.

Passo 5

Finalmente, substituímos $ g(y) = C $ na expressão de $ f(x, y) $:
g(y) = C
Podemos escolher $ C = 0 $ para simplificar, já que uma constante não afeta o gradiente.

Resposta

A função $ f(x, y) $ que satisfaz $ \mathbf{F} = \nabla f $ é:
f(x, y)

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