Seja o campo vetorial:
E a curva
parametrizada por:
Determine uma função
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma função $ f(x, y) $ tal que o campo vetorial dado $ \mathbf{F}(x, y) = \langle x^{2} y^{3}, x^{3} y^{2} \rangle $ seja igual ao gradiente de $ f $, ou seja, $ \mathbf{F} = \nabla f $. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \mathbf{F} = \nabla f $. O gradiente de uma função $ f $ é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de $ f $ e é dado por:
Então, queremos encontrar $ f(x, y) $ tal que:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a $ x $ para encontrar $ f $. Integrar $ \frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y^{3} $ em relação a $ x $ nos dá:
Aqui, $ g(y) $ é uma função de $ y $ que surge da constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação $ \frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} y^{2} $ para encontrar $ g(y) $. Calculando a derivada de $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
Isso deve ser igual a $ x^{3} y^{2} $, então:
Integrando $ g’(y) = 0 $ em relação a $ y $, obtemos:
onde $ C $ é uma constante.
Passo 5
Finalmente, substituímos $ g(y) = C $ na expressão de $ f(x, y) $:
Podemos escolher $ C = 0 $ para simplificar, já que uma constante não afeta o gradiente.
Resposta
A função $ f(x, y) $ que satisfaz $ \mathbf{F} = \nabla f $ é: